Para as funções nos exercícios 1. a 4., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) Os pontos degenerados de f.
(b) Os intervalos em que f tem a concavidade para cima ou para baixo.
© Os pontos de inflexão do gráfico de f.
f(x)=1+x^2x^2-9.

Passo 1

A questão pede pra função f(x)=1+x^2x^2-9 que a gente encontre: (a) onde ela “degenere” (i.e. pontos em que não está definida), (b) onde ela é côncava pra cima ou pra baixo e © possíveis pontos de inflexão. Vamos usar derivadas até a segunda para isso.

Passo 2

Para achar os pontos degenerados, basta ver onde o denominador zera. Resolvemos x^2-9=0, ou seja x=pm3. Nesses valores a função não existe.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada usando quociente. Se N=1+x^2 e D=x^2-9, então
f'(x)=N',D-N,D'D^2=2x(x^2-9)-(1+x^2)cdot2x(x^2-9)^2=-20x(x^2-9)^2

Passo 4

Agora a segunda derivada: derivando f'(x)=-20x,(x^2-9)^-2 por produto e regra da cadeia, obtemos
f''(x)=60,x^2+3(x^2-9)^3

Passo 5

Para decidir concavidade, observamos que o numerador 60(x^2+3)>0 sempre e o sinal de f'' vem de (x^2-9)^3. Logo
  • f''(x)>0 quando x^2-9>0, isto é |x|>3: concavidade para cima.
  • f''(x)<0 quando x^2-9<0, isto é -3: concavidade para baixo.

Passo 6

Pontos de inflexão só ocorrem onde a concavidade muda e a função existe. Aqui a troca de sinal ocorre em x=pm3, mas esses pontos não estão no domínio. Portanto não há pontos de inflexão.

Passo 7

Resumindo tudo:

Resposta

(a) Pontos degenerados: x=±3
(b) Concavidade: cima em (-∞,-3)∪(3,∞); baixo em (-3,3)
© Não há pontos de inflexão

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