Para as funções nos exercícios 1. a 4., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) Os pontos degenerados de
.
(b) Os intervalos em que
tem a concavidade para cima ou para baixo.
© Os pontos de inflexão do gráfico de
.
.
(a) Os pontos degenerados de
(b) Os intervalos em que
© Os pontos de inflexão do gráfico de
Passo 1
A questão pede pra função
que a gente encontre: (a) onde ela “degenere” (i.e. pontos em que não está definida), (b) onde ela é côncava pra cima ou pra baixo e © possíveis pontos de inflexão. Vamos usar derivadas até a segunda para isso.
Passo 2
Para achar os pontos degenerados, basta ver onde o denominador zera. Resolvemos
, ou seja
. Nesses valores a função não existe.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada usando quociente. Se
e
, então
Passo 4
Agora a segunda derivada: derivando
por produto e regra da cadeia, obtemos
Passo 5
Para decidir concavidade, observamos que o numerador
sempre e o sinal de
vem de
. Logo
-
quando , isto é : concavidade para cima. -
quando , isto é : concavidade para baixo.
Passo 6
Pontos de inflexão só ocorrem onde a concavidade muda e a função existe. Aqui a troca de sinal ocorre em
, mas esses pontos não estão no domínio. Portanto não há pontos de inflexão.
Passo 7
Resumindo tudo:
Resposta
(a) Pontos degenerados: x=±3
(b) Concavidade: cima em (-∞,-3)∪(3,∞); baixo em (-3,3)
© Não há pontos de inflexão
(b) Concavidade: cima em (-∞,-3)∪(3,∞); baixo em (-3,3)
© Não há pontos de inflexão