As funções f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} e f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} são chamadas, respectivamente, função seno hiperbólico f(x)=\operatorname{senh}(x) e função tangente hiperbólico f(x)=\operatorname{tanh} (x). De forma análoga definem-se secante, cossecante e cotangente hiperbólicos. Mostre que \frac{d}{d x} \operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh} (x) e \frac{d}{d x} \operatorname{cosh} (x)=\operatorname{senh}(x), e calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln ^{3}(2 x+1) \cdot \operatorname{cosh} \left(x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
e pede para mostrarmos que
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh}(x) \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{senh}(x),
além de calcular a derivada da função
f(x)=\ln^{3}(2x+1)\,\operatorname{cosh}\bigl(x^{4}\bigr).
Usaremos derivação de exponenciais, produto e cadeia.

Passo 2

Para \frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x) escrevemos
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \quad \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x},
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\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x) =\frac{e^{x}-(-e^{-x})}{2} =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} =\operatorname{cosh}(x).

Passo 3

Para \frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) partimos de
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Derivando,
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) =\frac{e^{x}+(-e^{-x})}{2} =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} =\operatorname{senh}(x).

Passo 4

Agora, f(x)=\ln^{3}(2x+1)\,\operatorname{cosh}(x^{4}). Pela regra do produto,
f'(x) =\bigl(\ln^{3}(2x+1)\bigr)'\,\operatorname{cosh}(x^{4}) +\ln^{3}(2x+1)\,\bigl(\operatorname{cosh}(x^{4})\bigr)'.
Calculamos cada derivada interna:
  1. \bigl(\ln^{3}(2x+1)\bigr)' =3\,\ln^{2}(2x+1)\cdot\frac{d}{dx}\ln(2x+1) =3\,\ln^{2}(2x+1)\cdot\frac{2}{2x+1} =\frac{6\,\ln^{2}(2x+1)}{2x+1}.
  2. \bigl(\operatorname{cosh}(x^{4})\bigr)' =\operatorname{senh}(x^{4})\cdot\frac{d}{dx}(x^{4}) =4x^{3}\,\operatorname{senh}(x^{4}).

Passo 5

Substituindo em f'(x) vem
f'(x) =\frac{6\,\ln^{2}(2x+1)}{2x+1}\,\operatorname{cosh}(x^{4}) +4x^{3}\,\ln^{3}(2x+1)\,\operatorname{senh}(x^{4}).

Resposta

f'(x) =\frac{6\,\ln^{2}(2x+1)}{2x+1}\,\operatorname{cosh}(x^{4}) +4x^{3}\,\ln^{3}(2x+1)\,\operatorname{senh}(x^{4}).

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