As funções f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} e f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} são chamadas, respectivamente, função seno hiperbólico f(x)=\operatorname{senh}(x) e função tangente hiperbólico f(x)=\operatorname{tanh} (x). De forma análoga definem-se secante, cossecante e cotangente hiperbólicos. Mostre que \frac{d}{d x} \operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh} (x) e \frac{d}{d x} \operatorname{cosh} (x)=\operatorname{senh}(x), e calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arcsec}\left[\operatorname{senh}\left(e^{x}\right)-\operatorname{cosh} \left(-5^{x}\right)\right]

Passo 1

O enunciado quer primeiro que a gente mostre as derivadas das funções hiperbólicas básicas
\operatorname{senh}(x)=\tfrac{e^x-e^{-x}}2 e \operatorname{cosh}(x)=\tfrac{e^x+e^{-x}}2,
e depois calcule a derivada de
f(x)=\operatorname{arcsec}\bigl[\operatorname{senh}(e^x)-\operatorname{cosh}(-5^x)\bigr].
O conteúdo é derivada de funções elementares, derivada de composição e derivada da função inversa da secante hiperbólica (que denotamos aqui por \operatorname{arcsec}).

Passo 2

Vamos mostrar que
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh}(x).
Começamos de
\operatorname{senh}(x)=\tfrac{e^x-e^{-x}}2, então
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x) =\frac12\bigl(e^x-(-e^{-x})\bigr) =\frac12\bigl(e^x+e^{-x}\bigr) =\operatorname{cosh}(x).
De modo análogo, para \operatorname{cosh}(x)=\tfrac{e^x+e^{-x}}2,
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) =\frac12\bigl(e^x- e^{-x}\bigr) =\operatorname{senh}(x).

Passo 3

Agora definimos
g(x)=\operatorname{senh}(e^x)-\operatorname{cosh}(-5^x).
Repare que \operatorname{cosh} é função par, logo \operatorname{cosh}(-5^x)=\operatorname{cosh}(5^x).
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(e^x) =\operatorname{cosh}(e^x)\cdot\frac{d}{dx}(e^x) =e^x\operatorname{cosh}(e^x),
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(5^x) =\operatorname{senh}(5^x)\cdot\frac{d}{dx}(5^x) =\ln(5)\,5^x\,\operatorname{senh}(5^x).
Portanto
g'(x) =e^x\operatorname{cosh}(e^x) -\ln(5)\,5^x\,\operatorname{senh}(5^x).

Passo 4

Finalmente, seja
f(x)=\operatorname{arcsec}\bigl(g(x)\bigr),
onde entendemos \operatorname{arcsec} como a inversa de \operatorname{sech}(y)=1/\operatorname{cosh}(y).
Pela diferenciação implícita ou pela fórmula padrão para a inversa de \operatorname{sech},
\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec}(u) =-\frac{u'}{u\sqrt{1-u^2}},
válido quando 0<u\le1. Aplicando isso a u=g(x),
f'(x) =-\frac{g'(x)}{\,g(x)\,\sqrt{1-\bigl(g(x)\bigr)^2}\,}.

Resposta

\boxed{ f'(x) =-\frac {\,e^x\operatorname{cosh}(e^x)-\ln(5)\,5^x\,\operatorname{senh}(5^x)\!} {\bigl[\operatorname{senh}(e^x)-\operatorname{cosh}(5^x)\bigr]\, \sqrt{1-\bigl[\operatorname{senh}(e^x)-\operatorname{cosh}(5^x)\bigr]^2} }.

Exercícios relacionados