As funções
e
são chamadas, respectivamente, função seno hiperbólico
e função tangente hiperbólico
. De forma análoga definem-se secante, cossecante e cotangente hiperbólicos. Mostre que
e
, e calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado quer primeiro que a gente mostre as derivadas das funções hiperbólicas básicas
e
,
e depois calcule a derivada de
e depois calcule a derivada de
O conteúdo é derivada de funções elementares, derivada de composição e derivada da função inversa da secante hiperbólica (que denotamos aqui por
).
Passo 2
Vamos mostrar que
Começamos de
, então
De modo análogo, para
,
Passo 3
Agora definimos
Repare que
é função par, logo
.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
Portanto
Passo 4
Finalmente, seja
onde entendemos
como a inversa de
.
Pela diferenciação implícita ou pela fórmula padrão para a inversa de ,
Pela diferenciação implícita ou pela fórmula padrão para a inversa de
válido quando
. Aplicando isso a
,