As funções f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} e f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} são chamadas, respectivamente, função seno hiperbólico f(x)=\operatorname{senh}(x) e função tangente hiperbólico f(x)=\operatorname{tanh} (x). De forma análoga definem-se secante, cossecante e cotangente hiperbólicos. Mostre que \frac{d}{d x} \operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh} (x) e \frac{d}{d x} \operatorname{cosh} (x)=\operatorname{senh}(x), e calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}[\ln (x)]+\operatorname{tanh} ^{3}\left(e^{2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos as derivadas básicas das funções hiperbólicas
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} e \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
e depois usar essas regras para calcular
f(x)=\operatorname{senh}(\ln(x))+\operatorname{tanh}^{3}\bigl(e^{2x}\bigr).
Os tópicos necessários são: derivada de e^{x}, derivada de e^{-x}, regra da cadeia e fórmula
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh}(u)=\sech^{2}(u)\,u'.

Passo 2

Derivada de \operatorname{senh}(x):
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x) =\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-(-e^{-x})\bigr) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} =\operatorname{cosh}(x).

Passo 3

Derivada de \operatorname{cosh}(x):
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) =\frac{1}{2}\bigl(e^{x}+(-e^{-x})\bigr) =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} =\operatorname{senh}(x).

Passo 4

Derivada de f(x)=\operatorname{senh}(\ln(x))+\operatorname{tanh}^{3}\bigl(e^{2x}\bigr):
  1. Primeiro termo: g(x)=\operatorname{senh}(\ln(x)).
    pela regra da cadeia, g'(x) =\operatorname{cosh}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\ln(x) =\frac{\operatorname{cosh}(\ln(x))}{x}.
  2. Segundo termo: h(x)=\operatorname{tanh}^{3}\bigl(e^{2x}\bigr).
    ponha u(x)=\operatorname{tanh}\bigl(e^{2x}\bigr).
    então h(x)=u(x)^{3} e h'(x) =3\,u(x)^{2}\,u'(x).Agora u'(x)=\sech^{2}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\frac{d}{dx}e^{2x} =\sech^{2}\bigl(e^{2x}\bigr)\cdot2e^{2x}.
    Logo h'(x) =3\,\operatorname{tanh}^{2}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\bigl(2e^{2x}\bigr)\,\sech^{2}\bigl(e^{2x}\bigr) =6e^{2x}\,\operatorname{tanh}^{2}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\sech^{2}\bigl(e^{2x}\bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{cosh}(\ln(x))}{x} +6\,e^{2x}\,\operatorname{tanh}^{2}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\sech^{2}\bigl(e^{2x}\bigr).

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