As funções f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} e f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} são chamadas, respectivamente, função seno hiperbólico f(x)=\operatorname{senh}(x) e função tangente hiperbólico f(x)=\operatorname{tanh} (x). De forma análoga definem-se secante, cossecante e cotangente hiperbólicos. Mostre que \frac{d}{d x} \operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh} (x) e \frac{d}{d x} \operatorname{cosh} (x)=\operatorname{senh}(x), e calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(\operatorname{senh}\left(x^{2}\right)\right)^{\cos \left(e^{5 x}\right)}

Passo 1

O enunciado apresenta as definições
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\quad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
e pede para mostrar que
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh}(x) e
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{senh}(x), usando derivação de exponenciais. Em seguida, aplicar regra da função potência com expoente variável e regra da cadeia para
f(x)=\bigl(\operatorname{senh}(x^{2})\bigr)^{\cos\bigl(e^{5x}\bigr)}.

Passo 2

Derivada de \operatorname{senh}(x):
escrevendo \operatorname{senh}(x)=\tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2},
\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)=\operatorname{cosh}(x).

Passo 3

Derivada de \operatorname{cosh}(x):
escrevendo \operatorname{cosh}(x)=\tfrac{e^{x}+e^{-x}}{2},
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)=\operatorname{senh}(x).

Passo 4

Derivada de f(x)=\bigl(\operatorname{senh}(x^{2})\bigr)^{\cos(e^{5x})}.
Defina
u(x)=\operatorname{senh}(x^{2}),\quad v(x)=\cos\bigl(e^{5x}\bigr),
então f(x)=u(x)^{v(x)} e vale a fórmula
f'(x)=u(x)^{v(x)}\Bigl[v'(x)\,\ln\bigl(u(x)\bigr)+v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}\Bigr].
Calculemos:
u'(x)=\operatorname{cosh}(x^{2})\cdot2x,\quad v'(x)=-\sin\bigl(e^{5x}\bigr)\cdot5e^{5x}.
Substituindo em f'(x) resulta
f'(x) =\bigl(\operatorname{senh}(x^{2})\bigr)^{\cos(e^{5x})} \Bigl[ -5e^{5x}\,\sin\bigl(e^{5x}\bigr)\,\ln\bigl(\operatorname{senh}(x^{2})\bigr) +\cos\bigl(e^{5x}\bigr)\,\frac{2x\,\operatorname{cosh}(x^{2})}{\operatorname{senh}(x^{2})} \Bigr].

Resposta

f'(x) =\bigl(\operatorname{senh}(x^{2})\bigr)^{\cos(e^{5x})} \Bigl[ -5e^{5x}\,\sin\bigl(e^{5x}\bigr)\,\ln\bigl(\operatorname{senh}(x^{2})\bigr) +\cos\bigl(e^{5x}\bigr)\,\frac{2x\,\operatorname{cosh}(x^{2})}{\operatorname{senh}(x^{2})} \Bigr].

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