As funções e^{x} e e^{2 x} são soluções de uma equação diferencial linear homogênea. Atividade colaborativa:
Em pequenos grupos:
Calculem o Wronskiano analiticamente;

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede que se calcule o Wronskiano analiticamente. As informações e o que é pedido são:
  • Funções dadas: \,e^{x} e \,e^{2x}.
  • Pedido: calcular o Wronskiano dessas duas funções, isto é W\big(e^{x},e^{2x}\big)(x).

Passo 2

Definição prática do Wronskiano para duas funções f e g:
W(f,g)(x)= \begin{vmatrix} f(x) & g(x)\\[4pt] f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).
Explicando: aqui f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g em relação a x. O determinante dá a combinação f g' - f' g.]

Passo 3

Calcular as derivadas das funções fornecidas, passo a passo:
  • Para f(x)=e^{x} vale a regra básica da exponencial: a derivada de \,e^{x} é \,e^{x}. Logo
f'(x)=e^{x}.
  • Para g(x)=e^{2x} usa-se a regra da cadeia: a derivada de \,e^{2x} é o derivada do expoente multiplicando a exponencial, isto é 2 e^{2x}. Logo
g'(x)=2e^{2x}.

Passo 4

Substituir f,f',g,g' na fórmula do Wronskiano:
W\big(e^{x},e^{2x}\big)(x) = e^{x}\cdot(2e^{2x}) - (e^{x})\cdot(e^{2x}).
Agora simplificar passo a passo: fator comum e^{x}e^{2x}:
W\big(e^{x},e^{2x}\big)(x) = e^{x}e^{2x}\,(2-1).

Passo 5

Usar a propriedade das exponenciais \,e^{x}e^{2x}=e^{x+2x}=e^{3x} e simplificar o fator numérico:
W\big(e^{x},e^{2x}\big)(x)=1\cdot e^{3x}=e^{3x}.

Passo 6

Interpretação rápida (útil na prova): \,e^{3x} é diferente de zero para todo x\in\mathbb{R}, portanto o Wronskiano não se anula em nenhum ponto — isso implica que as duas soluções são linearmente independentes. (Exemplo contrastante: se g=2e^{x}, então W(e^{x},2e^{x})=0, sinal de dependência linear.)

Resposta

W\big(e^{x},e^{2x}\big)(x)=e^{3x}

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