As funções e^{x} e e^{2 x} são soluções de uma equação diferencial linear homogênea. Atividade colaborativa:
Em pequenos grupos:
Elaborem uma explicação didática para outro estudante iniciante.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções \mathrm{e}^{x} e \mathrm{e}^{2x} e diz que elas são soluções de uma equação diferencial linear homogênea. O que se pede (implicitamente) é: construir uma explicação didática para outro estudante iniciante — isto inclui encontrar uma equação diferencial linear homogênea de ordem mínima que tenha essas soluções, explicar por que essas funções são soluções, e mostrar qual é a solução geral dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
  • As duas funções que sabemos serem soluções são \mathrm{e}^{x} e \mathrm{e}^{2x}.
  • A equação procurada é linear e homogênea (coeficientes constantes serão assumidos para a construção mais simples).
  • Espera-se uma explicação passo a passo, com verificação e interpretação.

Passo 2

Lembrete muito simples e importante sobre o que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: é uma equação da forma
a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0,
onde a, b e c são constantes (reais) e y é a função incógnita. Uma técnica-padrão para resolver ou construir essas equações é procurar soluções do tipo exponencial \mathrm{e}^{r x}. Por quê? Porque ao derivar \mathrm{e}^{r x} obtém-se múltiplos da própria função:
\text{se }y=\mathrm{e}^{r x}\text{ então } y' = r\mathrm{e}^{r x},\quad y'' = r^{2}\mathrm{e}^{r x}.ã
Substituindo em a\,y''+b\,y'+c\,y=0 e dividindo por \mathrm{e}^{r x} (que nunca é zero) fica a equação algébrica
a r^{2}+b r + c = 0,
chamada equação característica. Assim, cada raiz r da equação característica corresponde à solução \mathrm{e}^{r x} da equação diferencial.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior ao nosso caso: sabemos que \mathrm{e}^{x} e \mathrm{e}^{2x} são soluções, logo seus expoentes r=1 e r=2 devem ser raízes da equação característica. Portanto a equação característica (polinomial) de grau mínimo que tem essas raízes é aquela cujo polinômio se anula em r=1 e r=2. Escrevemos o polinômio fatorado:
(r-1)(r-2)=0.
Expandindo:
(r-1)(r-2)=r^{2}-3r+2.

Passo 4

A partir do polinômio característico r^{2}-3r+2 podemos escrever a equação diferencial homogênea de segunda ordem (escolhendo a=1 para a forma mais simples):
y'' - 3y' + 2y = 0.
Esta é a equação linear homogênea de ordem mínima (segunda ordem) com coeficientes constantes que tem as raízes r=1 e r=2 na equação característica, e portanto é a candidata natural que procuramos.

Passo 5

Verificação direta: vamos mostrar que \mathrm{e}^{x} e \mathrm{e}^{2x} satisfazem a equação \;y''-3y'+2y=0.
Para y=\mathrm{e}^{x}:
y'=\mathrm{e}^{x},\quad y''=\mathrm{e}^{x}.
Substituindo:
y''-3y'+2y = \mathrm{e}^{x} - 3\mathrm{e}^{x} + 2\mathrm{e}^{x} = (1-3+2)\mathrm{e}^{x} = 0\cdot\mathrm{e}^{x}=0.
Logo \mathrm{e}^{x} é solução.
Para y=\mathrm{e}^{2x}:
y' = 2\mathrm{e}^{2x},\quad y'' = 4\mathrm{e}^{2x}.
Substituindo:
y''-3y'+2y = 4\mathrm{e}^{2x} - 3\cdot 2\mathrm{e}^{2x} + 2\mathrm{e}^{2x} = (4-6+2)\mathrm{e}^{2x} = 0.
Logo \mathrm{e}^{2x} é solução. Verificámos as duas soluções diretamente.

Passo 6

Explicação sobre linearidade e combinação linear: uma equação diferencial linear homogênea tem a propriedade de que qualquer combinação linear de soluções também é solução. Ou seja, se y_{1} e y_{2} são soluções de uma equação linear homogênea, então
y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}
também é solução para quaisquer constantes C_{1} e C_{2}. Assim, como \mathrm{e}^{x} e \mathrm{e}^{2x} são soluções, toda função da forma
y(x) = C_{1}\mathrm{e}^{x} + C_{2}\mathrm{e}^{2x}
é solução da equação encontrada.

Passo 7

Verificação de que \mathrm{e}^{x} e \mathrm{e}^{2x} formam uma base do espaço de soluções (independência linear): calculemos o Wronskiano
W\big(\mathrm{e}^{x},\mathrm{e}^{2x}\big)(x) = \begin{vmatrix} \mathrm{e}^{x} & \mathrm{e}^{2x} \\[4pt] \mathrm{e}^{x} & 2\mathrm{e}^{2x} \end{vmatrix} = \mathrm{e}^{x}\cdot 2\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x}\cdot\mathrm{e}^{2x} = (2-1)\mathrm{e}^{3x} = \mathrm{e}^{3x}.
Como \mathrm{e}^{3x}\neq 0 para todo x, o Wronskiano é não nulo, o que garante que as funções são linearmente independentes. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão 2. Logo essas duas soluções independentes formam uma base e a solução geral é exatamente y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+C_{2}\mathrm{e}^{2x}.]

Passo 8

Resumo didático e dicas para prova (em linguagem direta, como se eu explicasse a um colega): sempre que te derem exponenciais \mathrm{e}^{r_{1}x} e \mathrm{e}^{r_{2}x} como soluções, monta a equação característica com fatores (r-r_{1})(r-r_{2}), expande para obter um polinômio e daí escreve a equação diferencial correspondente. Verifica sempre substituindo e, se necessário, checa a independência com o Wronskiano. Para raízes repetidas ou raízes complexas há variações (por exemplo, para raiz repetida r a solução inclui x\mathrm{e}^{r x}; para raízes complexas aparecem senos e cossenos multiplicados por exponencial), mas para raízes reais distintas o procedimento acima resolve direto.

Resposta

y'' - 3y' + 2y = 0
y(x) = C_{1}\mathrm{e}^{x} + C_{2}\mathrm{e}^{2x}

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