Em uma fundação de edifício, três forças são aplicadas em pontos diferentes de uma placa rigida. Para que
E) 10,0 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} a placa não rotacione, o momento resultante em relação ao centro de massa deve ser nulo, O engenheiro calcula os momentos individuais e verifica que \mathrm{M} 1=8 i+3 j \mathrm{kNm}, \mathrm{M} 2=-2 i-7 j. Qual deve ser o valor vetorial do terceiro momento ( M 3 ) para que a estrutura permaneça em equilibrio rotacional?
A) -6 i+4 j
B) 6 i-4 j
C) 10 i+10 j
D) -10 i-10 j
E) 4 i+6 j

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes valores do texto):
  • Condição para não haver rotação: o momento resultante em relação ao centro de massa deve ser nulo.
  • Momento 1: \mathbf{M}_1 = 8\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Momento 2: \mathbf{M}_2 = -2\,\mathbf{i}-7\,\mathbf{j}\\ \mathrm{kN\cdot m}.
    O que se pede:
  • Determinar o vetor do terceiro momento \mathbf{M}_3 que faz com que a placa permaneça em equilíbrio rotacional (isto é, que o momento resultante seja nulo).

Passo 2

Escrevendo matematicamente a condição de equilíbrio rotacional:
\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2+\mathbf{M}_3=\mathbf{0}.
Isto significa que a soma vetorial dos três momentos deve ser o vetor nulo. Para encontrar \mathbf{M}_3 isolamos:
\mathbf{M}_3 = -(\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2).
Explicando de maneira simples: vetores se somam compondo as componentes x (na direção \mathbf{i}) e y (na direção \mathbf{j}) separadamente. Para anular a soma, o terceiro vetor precisa ser o oposto da soma dos dois primeiros.

Passo 3

Relembrando como somar vetores no plano (a ideia que se aplica aqui):
Se \mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j} e \mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}, então
\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x+b_x)\mathbf{i}+(a_y+b_y)\mathbf{j}.
Ou seja, soma-se componente a componente. Vamos aplicar isso a \mathbf{M}_1 e \mathbf{M}_2.

Passo 4

Somando \mathbf{M}_1 e \mathbf{M}_2 componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}: 8 + (-2) = 6.
  • Componente \mathbf{j}: 3 + (-7) = -4.
Portanto
\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2 = 6\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 5

Agora aplicamos \mathbf{M}_3 = -(\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2). Tomando o oposto do vetor calculado:
\mathbf{M}_3 = -(6\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}) = -6\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 6

Verificação rápida (somando todos os três momentos para checar que dá zero):
\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2+\mathbf{M}_3 = (6\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j})+(-6\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j})=\mathbf{0}.
Confere: a soma é realmente o vetor nulo, logo a placa não rotaciona.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: sempre some as componentes e coloque o terceiro momento como o negativo da soma. Isso evita erro de sinal e é rápido de fazer sem calculadora.

Resposta

A) -6\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}\\ \mathrm{kN\cdot m}

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