A roda rola sem deslizar em um arco circular de raio
e faz uma volta completa em torno do eixo vertical
com velocidade constante em um tempo
. Determine a expressão vetorial para a aceleração angular
da roda e trace os cones espacial e do corpo.
Resp. \alpha=-\left(\frac{2 \pi}{\tau}\right)^{2} \frac{R}{r} \mathbf{i}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que importa):
- Uma roda de raio
roda sem deslizar fazendo o centro descrever um arco circular de raio em torno do eixo vertical (eixos cartesianos: para , para , para ). - A roda completa uma volta em torno do eixo
em um tempo , com velocidade angular constante do centro em torno do eixo vertical. - Pede-se: a expressão vetorial para a aceleração angular
(isto é, no referencial inercial) da roda; e traçar/descrever os cones espacial e do corpo. - A resposta indicada é
.
Passo 2
Definir a taxa angular com que o centro da roda gira em torno do eixo
. Como a roda completa uma volta em tempo
, a velocidade angular do centro em torno de
é
Essa é a velocidade angular de precessão (a velocidade com que a linha que liga o eixo
ao centro da roda gira).
Passo 3
Escolher descritores de direção convenientes (vetores unitários do plano horizontal, em coordenadas cilíndricas ao redor de
). Para um ângulo polar
(posição do centro no plano
) temos os vetores unitários
O centro da roda move-se com velocidade linear
Explico:
é a direção tangencial ao círculo de raio
, e o módulo da velocidade do centro é
.
Passo 4
Relacionar giro da roda (spin) com o movimento do centro por não deslizamento. Se a roda rola sem deslizar, a velocidade escalar do centro deve ser igual à velocidade tangencial da borda da roda decorrente do giro em torno do seu próprio eixo. Isto dá a relação
onde
é a velocidade angular de giro da roda em torno do seu próprio eixo (módulo). Assim
Interpretação física simples: a borda da roda deve “correr” sobre o chão com a mesma velocidade que o centro descreve ao redor do eixo
.
Passo 5
Escrever o vetor velocidade angular total
. A roda tem duas contribuições à sua velocidade angular total: (i) a precessão do plano/ eixo da roda ao redor de
com velocidade
(vetor
), e (ii) o giro em torno do próprio eixo da roda com velocidade
na direção do eixo da roda, que é
. Logo
Isto é plausível:
representa a rotação global do sistema em torno de
;
é o spin local da roda (eixo apontando em
).
Passo 6
Calcular a aceleração angular
no referencial inercial. Como
e
são constantes no enunciado (velocidade constante), apenas a direção de
varia no tempo. Usamos as derivadas dos vetores cilíndricos:
Assim
Passo 7
Substituir
na expressão de
:
Em particular, avaliando em
(posição inicial onde
) obtemos
Finalmente, usando
,
Isto coincide com a resposta fornecida.
Passo 8
Descrever (e “traçar mentalmente”) os cones espacial e do corpo, com ângulos explícitos:
- Cone espacial: o vetor
tem componente em e componente em . O ângulo entre e o eixo vertical satisfaz
Como
gira com velocidade
em torno de
, a ponta de
descreve um cone em torno de
com semi‑ângulo
(este é o cone espacial). O eixo do cone é
e a precessão angular é
.
- Cone do corpo: visto no referencial ligado ao corpo (eixo principal da roda é
), o vetor forma com o eixo da roda um ângulo whose tangent is the reciprocal:
No referencial da roda a ponta de
descreve então um cone em torno do eixo da roda com semi‑ângulo
(este é o cone do corpo). Em resumo: os dois cones são complementares no sentido de seus ângulos, pois
.