A roda rola sem deslizar em um arco circular de raio R e faz uma volta completa em torno do eixo vertical y com velocidade constante em um tempo \tau. Determine a expressão vetorial para a aceleração angular \alpha da roda e trace os cones espacial e do corpo.
Resp. \alpha=-\left(\frac{2 \pi}{\tau}\right)^{2} \frac{R}{r} \mathbf{i}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que importa):
  • Uma roda de raio \,r\, roda sem deslizar fazendo o centro descrever um arco circular de raio \,R\, em torno do eixo vertical \mathbf{j} (eixos cartesianos: \mathbf{i} para x, \mathbf{j} para y, \mathbf{k} para z).
  • A roda completa uma volta em torno do eixo \mathbf{j} em um tempo \tau, com velocidade angular constante do centro em torno do eixo vertical.
  • Pede-se: a expressão vetorial para a aceleração angular \alpha (isto é, \alpha=\dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} no referencial inercial) da roda; e traçar/descrever os cones espacial e do corpo.
  • A resposta indicada é \displaystyle \alpha=-\left(\frac{2\pi}{\tau}\right)^{2}\frac{R}{r}\mathbf{i}.

Passo 2

Definir a taxa angular com que o centro da roda gira em torno do eixo y. Como a roda completa uma volta em tempo \tau, a velocidade angular do centro em torno de \mathbf{j} é
\Omega=\frac{2\pi}{\tau}.
Essa é a velocidade angular de precessão (a velocidade com que a linha que liga o eixo y ao centro da roda gira).

Passo 3

Escolher descritores de direção convenientes (vetores unitários do plano horizontal, em coordenadas cilíndricas ao redor de \mathbf{j}). Para um ângulo polar \varphi=\Omega t (posição do centro no plano xz) temos os vetores unitários
\mathbf{e}_r=\cos\varphi\,\mathbf{i}+\sin\varphi\,\mathbf{k},\qquad \mathbf{e}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{i}+\cos\varphi\,\mathbf{k}.
O centro da roda move-se com velocidade linear
\mathbf{v}_{\text{centro}}=R\Omega\,\mathbf{e}_\varphi.
Explico: \mathbf{e}_\varphi é a direção tangencial ao círculo de raio R, e o módulo da velocidade do centro é R\Omega.

Passo 4

Relacionar giro da roda (spin) com o movimento do centro por não deslizamento. Se a roda rola sem deslizar, a velocidade escalar do centro deve ser igual à velocidade tangencial da borda da roda decorrente do giro em torno do seu próprio eixo. Isto dá a relação
\omega_s\,r=R\Omega,
onde \omega_s é a velocidade angular de giro da roda em torno do seu próprio eixo (módulo). Assim
\omega_s=\frac{R\Omega}{r}.
Interpretação física simples: a borda da roda deve “correr” sobre o chão com a mesma velocidade que o centro descreve ao redor do eixo y.

Passo 5

Escrever o vetor velocidade angular total \boldsymbol{\omega}. A roda tem duas contribuições à sua velocidade angular total: (i) a precessão do plano/ eixo da roda ao redor de \mathbf{j} com velocidade \Omega (vetor \Omega\,\mathbf{j}), e (ii) o giro em torno do próprio eixo da roda com velocidade \omega_s na direção do eixo da roda, que é \mathbf{e}_\varphi. Logo
\boldsymbol{\omega}=\Omega\,\mathbf{j}+\omega_s\,\mathbf{e}_\varphi.
Isto é plausível: \Omega\,\mathbf{j} representa a rotação global do sistema em torno de y; \omega_s\,\mathbf{e}_\varphi é o spin local da roda (eixo apontando em \mathbf{e}_\varphi).

Passo 6

Calcular a aceleração angular \boldsymbol{\alpha}=\dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} no referencial inercial. Como \Omega e \omega_s são constantes no enunciado (velocidade constante), apenas a direção de \mathbf{e}_\varphi varia no tempo. Usamos as derivadas dos vetores cilíndricos:
\frac{d\mathbf{e}_r}{dt}=\Omega\,\mathbf{e}_\varphi,\qquad \frac{d\mathbf{e}_\varphi}{dt}=-\Omega\,\mathbf{e}_r.
Assim
\boldsymbol{\alpha}=\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\Omega\,\mathbf{j}+\omega_s\,\mathbf{e}_\varphi\bigr) =0+\omega_s\frac{d\mathbf{e}_\varphi}{dt} =\omega_s(-\Omega\,\mathbf{e}_r) =-\omega_s\Omega\,\mathbf{e}_r.

Passo 7

Substituir \omega_s=\dfrac{R\Omega}{r} na expressão de \boldsymbol{\alpha}:
\boldsymbol{\alpha}=-\left(\frac{R\Omega}{r}\right)\Omega\,\mathbf{e}_r =-\frac{R\Omega^{2}}{r}\,\mathbf{e}_r.
Em particular, avaliando em \varphi=0 (posição inicial onde \mathbf{e}_r=\mathbf{i}) obtemos
\boldsymbol{\alpha}=-\frac{R\Omega^{2}}{r}\,\mathbf{i}.
Finalmente, usando \Omega=\dfrac{2\pi}{\tau},
\boxed{\displaystyle \boldsymbol{\alpha}=-\left(\frac{2\pi}{\tau}\right)^{2}\frac{R}{r}\,\mathbf{i}.}
Isto coincide com a resposta fornecida.

Passo 8

Descrever (e “traçar mentalmente”) os cones espacial e do corpo, com ângulos explícitos:
  • Cone espacial: o vetor \boldsymbol{\omega} tem componente \Omega em \mathbf{j} e componente \omega_s=\dfrac{R\Omega}{r} em \mathbf{e}_\varphi. O ângulo entre \boldsymbol{\omega} e o eixo vertical \mathbf{j} satisfaz
\tan\theta=\frac{\omega_s}{\Omega}=\frac{R}{r}, \qquad \theta=\arctan\!\left(\frac{R}{r}\right).
Como \mathbf{e}_\varphi gira com velocidade \Omega em torno de \mathbf{j}, a ponta de \boldsymbol{\omega} descreve um cone em torno de \mathbf{j} com semi‑ângulo \theta (este é o cone espacial). O eixo do cone é \mathbf{j} e a precessão angular é \Omega.
  • Cone do corpo: visto no referencial ligado ao corpo (eixo principal da roda é \mathbf{e}_\varphi), o vetor \boldsymbol{\omega} forma com o eixo da roda um ângulo whose tangent is the reciprocal:
\tan\theta_{\text{corpo}}=\frac{\Omega}{\omega_s}=\frac{r}{R}, \qquad \theta_{\text{corpo}}=\arctan\!\left(\frac{r}{R}\right).
No referencial da roda a ponta de \boldsymbol{\omega} descreve então um cone em torno do eixo da roda com semi‑ângulo \theta_{\text{corpo}} (este é o cone do corpo). Em resumo: os dois cones são complementares no sentido de seus ângulos, pois \tan\theta\cdot\tan\theta_{\text{corpo}}=1.

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{\alpha}=-\left(\frac{2\pi}{\tau}\right)^{2}\frac{R}{r}\,\mathbf{i}

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