Um dos projetos foi executado sem a verificação da cavitação. Seu trabalho agora é realizar um relatório com memorial de cálculo para avaliar a ocorrência ou não do fenômeno de cavitação na instalação e determinar qual seria a cota máxima para que o fenômeno não ocorresse. São fornecidas as seguintes informações: O sistema está instalado a uma altitude de 100 m . Água é bombeada com uma vazão de 2.556,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} a 20^{\circ} \mathrm{C}, onde o nível do reservatório de sucção está a 1,83 \mathrm{~m} abaixo da bomba e a perda de carga total na sucção é igual a 1,22 \mathrm{~m}. O fabricante fornece que NPSHR da bomba igual a 6,1 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos estes números do enunciado):
  • Altitude do local: 100\\ \mathrm{m}.
  • Vazão de bombeamento: 2.556{,}0\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Temperatura da água: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Nível do reservatório de sucção em relação ao eixo da bomba: o nível está 1{,}83\\ \mathrm{m} abaixo da bomba (isto é, a cota do espelho livre é z=-1{,}83\\ \mathrm{m} tomando o eixo da bomba como referência).
  • Perda de carga total na sucção: h_s=1{,}22\\ \mathrm{m}.
  • NPSHR (informado pelo fabricante): \mathrm{NPSHR}=6{,}1\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
  1. Avaliar se ocorre ou não o fenômeno de cavitação na instalação atual.
  2. Determinar qual seria a cota máxima (isto é, até que profundidade abaixo do eixo da bomba pode ficar o nível do reservatório) para que o fenômeno não ocorra.

Passo 2

O que é NPSH e como usamos isso para decidir sobre cavitação — explicação didática e sem pular etapas.
  • Cavitação acontece quando, no olho da bomba, a pressão absoluta cai até a pressão de vapor do líquido: bolhas se formam e depois colapsam, causando danos e perda de desempenho.
  • Para evitar cavitação usamos o conceito de NPSH (Net Positive Suction Head). Existem dois termos:
    • \mathrm{NPSHa}: NPSH disponível no sistema (dá para calcular a partir das pressões, alturas e perdas).
    • \mathrm{NPSHr}: NPSH requerido pela bomba (fornecido pelo fabricante, depende da vazão).
  • Regra prática: se \mathrm{NPSHa} \ge \mathrm{NPSHr} a princípio não ocorrerá cavitação. Se \mathrm{NPSHa}<\mathrm{NPSHr}, cavitação certamente ocorrerá.
Derivação e fórmula que usaremos (passo a passo, sem pular):
  • A partir da equação de Bernoulli entre o espelho livre do reservatório de sucção (ponto 0) e o olho da bomba (ponto 1), incluindo as perdas na linha de sucção h_s, obtemos, depois de manipular termos, a expressão usual para a NPSH disponível:
\mathrm{NPSHa} = \frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} + z - h_s - \frac{p_{\mathrm{v}}}{\rho g}.
Aqui:
  • p_{\mathrm{atm}} é a pressão atmosférica absoluta no local (Pa).
  • \rho é a massa específica da água (kg/m^3).
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • z é a cota do espelho livre do reservatório em relação ao eixo da bomba (m). No problema z é negativo porque o reservatório está abaixo da bomba: z=-1{,}83\\ \mathrm{m}.
  • h_s é a perda de carga total na sucção entre o espelho e o olho da bomba (m).
  • p_{\mathrm{v}} é a pressão de vapor da água à temperatura dada (Pa).
Observação elegante que muitas pessoas estranham: o termo de velocidade no olho da bomba ( v^2/2g) aparece na Bernoulli, mas ele se cancela ao formar \mathrm{NPSHa} como acima (quando se usa a definição padrão de NPSH), por isso a fórmula final não possui o termo de velocidade.

Passo 3

Calcular a pressão atmosférica no local (cabe lembrar que a altitude altera ligeiramente a pressão).
Método prático (suficientemente preciso para 100 m): usar aproximação linear por peso da coluna de ar:
p_{\mathrm{atm}} \approx p_0 - \rho_{\mathrm{ar}} g h,
onde p_0=101325\\ \mathrm{Pa} (pressão ao nível do mar), \rho_{\mathrm{ar}} é a densidade do ar (aprox. 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}) e h é a altitude ( 100\\ \mathrm{m}). Isso é uma aproximação simples e adequada para poucas centenas de metros.
Cálculo:
p_{\mathrm{atm}} \approx 101325 - 1{,}2\cdot 9{,}81 \cdot 100 = 101325 - 1177{,}2 = 100147{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Agora convertemos essa pressão em “metros de coluna d’água”:
usaremos \rho_{\mathrm{água}}=998\\ \mathrm{kg/m^3}á (valor aproximado à 20^\circ\mathrm{C}) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Então
\frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} = \frac{100147{,}8}{998\cdot 9{,}81} \approx 10{,}24\\ \mathrm{m}.
(Se tivesse usado a pressão ao nível do mar o termo seria \approx 10{,}35\\ \mathrm{m}; a altitude de 100\\ \mathrm{m} reduz esse termo em cerca de 0{,}1\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Calcular a contribuição da pressão de vapor da água a 20^\circ\mathrm{C}.
  • Valor tabulado: a pressão de vapor da água a 20^\circ\mathrm{C} é aproximadamente p_{\mathrm{v}}=2338\\ \mathrm{Pa}.
  • Em metros de coluna d’água:
\frac{p_{\mathrm{v}}}{\rho g} = \frac{2338}{998\cdot 9{,}81} \approx 0{,}239\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da \mathrm{NPSHa} com todos os termos numéricos. Relembrando os valores:
  • \dfrac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} \approx 10{,}24\\ \mathrm{m} (do Passo 3),
  • z = -1{,}83\\ \mathrm{m} (dado),
  • h_s = 1{,}22\\ \mathrm{m} (dado),
  • \dfrac{p_{\mathrm{v}}}{\rho g} \approx 0{,}239\\ \mathrm{m} (do Passo 4).
Substituindo em
\mathrm{NPSHa} = \frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} + z - h_s - \frac{p_{\mathrm{v}}}{\rho g},
temos
\mathrm{NPSHa} \approx 10{,}24 + (-1{,}83) - 1{,}22 - 0{,}239.
Fazendo as contas passo a passo:
10{,}24 - 1{,}83 = 8{,}41,
8{,}41 - 1{,}22 = 7{,}19,
7{,}19 - 0{,}239 = 6{,}951\\ \mathrm{m}.
Arredondando convenientemente, \mathrm{NPSHa}\approx 6{,}95\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparação com o valor fornecido pelo fabricante e conclusão sobre cavitação (passo direto e interpretação).
  • Temos \mathrm{NPSHa}\approx 6{,}95\\ \mathrm{m}.
  • Fornecedor: \mathrm{NPSHR}=6{,}1\\ \mathrm{m}.
Como \mathrm{NPSHa}>\mathrm{NPSHR} ( 6{,}95>6{,}10), o sistema, na condição dada, não deve apresentar cavitação segundo o critério usual.
Observação de engenharia: a diferença (folga) é
\Delta = \mathrm{NPSHa}-\mathrm{NPSHR} \approx 6{,}95-6{,}10 = 0{,}85\\ \mathrm{m}.
Esta folga de aproximadamente 0{,}85\\ \mathrm{m} é a margem disponível antes de atingir a NPSHR; muitos projetistas exigem uma margem mínima (por exemplo 0{,}5 a 1{,}0\\ \mathrm{m} dependendo do serviço) — aqui a folga está dentro de um intervalo aceitável, mas é bom verificar requisitos específicos do fabricante e variações operacionais (por exemplo, elevação temporária da temperatura, formação de vapor por aquecimento, bloqueios parciais, variações de nível do reservatório, etc.).

Passo 7

Determinar a “cota máxima” solicitada — interpretação e cálculo final.
Interpretação prática: o enunciado pede “qual seria a cota máxima para que o fenômeno não ocorresse”. O que faz sentido é calcular qual é a cota mínima permitida do espelho livre (isto é, quão abaixo do eixo da bomba o nível pode ficar) antes que a \mathrm{NPSHa} fique igual à \mathrm{NPSHR}. Em termos algébricos, resolvemos a desigualdade
\mathrm{NPSHa} = \frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} + z - h_s - \frac{p_{\mathrm{v}}}{\rho g} \ge \mathrm{NPSHR}
para z. Isolando z:
z \ge \mathrm{NPSHR} - \frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} + h_s + \frac{p_{\mathrm{v}}}{\rho g}.
Substituindo os números:
z \ge 6{,}10 - 10{,}24 + 1{,}22 + 0{,}239.
Calculando:
6{,}10 - 10{,}24 = -4{,}14,
-4{,}14 + 1{,}22 = -2{,}92,
-2{,}92 + 0{,}239 = -2{,}681\\ \mathrm{m}.
Interpretação numérica: isto significa que o nível do reservatório pode estar até 2{,}681\\ \mathrm{m} abaixo do eixo da bomba; se ficar mais baixo (isto é, se z < -2{,}681\\ \mathrm{m}) a \mathrm{NPSHa} cairia abaixo da \mathrm{NPSHR} e cavitação ocorreria.
Em termos práticos e arredondando, a cota máxima (no sentido de profundidade abaixo do eixo da bomba) para evitar cavitação é aproximadamente 2{,}68\\ \mathrm{m} abaixo da bomba. Atualmente o nível está a 1{,}83\\ \mathrm{m} abaixo da bomba, portanto há uma folga adicional possível de cerca de
2{,}68 - 1{,}83 = 0{,}85\\ \mathrm{m}
antes que se alcance a condição crítica.

Resposta

Não ocorre cavitação: \mathrm{NPSHa}\approx 6{,}95\\ \mathrm{m}>\mathrm{NPSHR}=6{,}10\\ \mathrm{m}.
Cota máxima (nível do reservatório abaixo do eixo da bomba) para evitar cavitação: 2{,}68\\ \mathrm{m} (ou seja, o reservatório não deve ficar mais profundo que 2{,}68\\ \mathrm{m} abaixo da bomba).

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