(FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes "piscam"com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
(a) 12
(b) 10
(c) 20
(d) 15
(e) 30

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação 1: a primeira luz “pisca” 15 vezes por minuto.
  • Informação 2: a segunda luz “pisca” 10 vezes por minuto.
  • Condição inicial: em certo instante ambas piscam simultaneamente.
  • Pergunta: após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?

Passo 2

Entender o que significa “piscar n vezes por minuto”. Aqui precisamos transformar frequência em período:
  • Frequência é o número de eventos por unidade de tempo. Quando dizem que algo pisca 15 vezes por minuto, a frequência é 15 ciclos por minuto.
  • Período é o tempo que passa entre dois piscos consecutivos de uma mesma luz; é o inverso da frequência. Se a frequência é o número de ciclos por minuto, o período em minutos é \dfrac{1}{\text{frequência}}ê. Para trabalhar em segundos, converte-se minutos para segundos.
Fórmula que vamos usar:
\text{Período} = \frac{60\\ \text{s}}{\text{(número de piscadas por minuto)}}.íú

Passo 3

Calcular os períodos das duas luzes usando a fórmula acima:
  • Para a primeira luz ( 15 piscadas/minuto):
\text{Período}_1 = \frac{60\\ \text{s}}{15} = 4\\ \text{s}.í
  • Para a segunda luz ( 10 piscadas/minuto):
\text{Período}_2 = \frac{60\\ \text{s}}{10} = 6\\ \text{s}.í

Passo 4

Quando as luzes piscam simultaneamente? Precisamos do menor tempo positivo t tal que t seja múltiplo inteiro de \text{Período}_1í e também múltiplo inteiro de \text{Período}_2í. Em outras palavras, t é o menor múltiplo comum de 4 e 6 segundos — isto é, o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) de 4 e 6.

Passo 5

Calcular o MMC de 4 e 6. Duas formas simples e diretas:
Método 1 — fatoração em primos:
4 = 2^2,\qquad 6 = 2\cdot 3.
O MMC é o produto dos maiores expoentes de cada primo presentes:
\text{MMC}(4,6) = 2^2\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12.
Método 2 — usando MDC (máximo divisor comum):
\text{MDC}(4,6)=2,\qquad \text{MMC}(4,6)=\frac{4\cdot 6}{\text{MDC}(4,6)}=\frac{24}{2}=12.
Ambos dão o mesmo resultado: 12 segundos.

Passo 6

Interpretação final: a partir do instante em que piscam juntos, a próxima vez que piscarão simultaneamente será após \;12\;\text{s}.
Dica rápida para a prova: em problemas assim sempre converta frequência por minuto para período em segundos com \dfrac{60}{\text{frequência}}ê e então calcule o MMC dos períodos.

Resposta

(a) (12\\ \text{s})

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