(FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes "piscam"com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
(a) 12
(b) 10
(c) 20
(d) 15
(e) 30
(a) 12
(b) 10
(c) 20
(d) 15
(e) 30
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informação 1: a primeira luz “pisca”
vezes por minuto. - Informação 2: a segunda luz “pisca”
vezes por minuto. - Condição inicial: em certo instante ambas piscam simultaneamente.
- Pergunta: após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
Passo 2
Entender o que significa “piscar
vezes por minuto”. Aqui precisamos transformar frequência em período:
- Frequência é o número de eventos por unidade de tempo. Quando dizem que algo pisca
vezes por minuto, a frequência é ciclos por minuto. - Período é o tempo que passa entre dois piscos consecutivos de uma mesma luz; é o inverso da frequência. Se a frequência é o número de ciclos por minuto, o período em minutos é
. Para trabalhar em segundos, converte-se minutos para segundos.
Fórmula que vamos usar:
Passo 3
Calcular os períodos das duas luzes usando a fórmula acima:
- Para a primeira luz (
piscadas/minuto):
- Para a segunda luz (
piscadas/minuto):
Passo 4
Quando as luzes piscam simultaneamente? Precisamos do menor tempo positivo
tal que
seja múltiplo inteiro de
e também múltiplo inteiro de
. Em outras palavras,
é o menor múltiplo comum de
e
segundos — isto é, o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) de
e
.
Passo 5
Calcular o MMC de
e
. Duas formas simples e diretas:
Método 1 — fatoração em primos:
O MMC é o produto dos maiores expoentes de cada primo presentes:
Método 2 — usando MDC (máximo divisor comum):
Ambos dão o mesmo resultado:
segundos.
Passo 6
Interpretação final: a partir do instante em que piscam juntos, a próxima vez que piscarão simultaneamente será após
.
Dica rápida para a prova: em problemas assim sempre converta frequência por minuto para período em segundos com
e então calcule o MMC dos períodos.