(CM-RJ) Na festa de casamento de Márcia, foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese, carne e massa. Garçons serviam os convidados utilizando pequenas bandejas. A quantidade servida era aproximadamente igual para todos, sem repetição. Todos os convidados se serviam de todos os pratos oferecidos e as bandejas retornavam à copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as de maionese, 4 pessoas, as de carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas cada. Nessas condições, dos números abaixo apresentados, só um deles pode corresponder ao total de convidados que foram à festa de Márcia. Assinale-o:
(a) 90
(b) 120
(c) 144
(d) 150
(e) 200
(a) 90
(b) 120
(c) 144
(d) 150
(e) 200
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
- O enunciado fala de um total de convidados, que chamarei de
. - Todos os convidados se serviram de todos os pratos oferecidos (arroz, maionese, carne e massa).
- Cada bandeja de arroz serve
pessoas. - Cada bandeja de maionese serve
pessoas. - Cada bandeja de carne serve
pessoas. - Cada bandeja de massa serve
pessoas. - As bandejas retornavam à copa sempre vazias (ou seja, não sobrou comida em bandejas).
- “Sem repetição” indica que cada convidado pegou uma porção de cada prato (não houve repetições/porções extras de um mesmo prato por parte de convidados).
O que o enunciado pede: entre as opções dadas, qual número pode ser o total
de convidados, compatível com todas as condições acima?
Passo 2
Modelagem matemática e ideia principal (explicando o conceito usado).
- Se cada bandeja de um certo prato serve
pessoas e as bandejas voltaram vazias, então o número total de convidados deve ser divisível por : o número de bandejas usadas é , que precisa ser inteiro. - Como isso vale para os quatro pratos com
, o número deve ser múltiplo comum de e . - O menor múltiplo comum de vários números é chamado de mínimo múltiplo comum (m.m.c. ou m.c.m.). Para testar se um número é possível, verificamos se ele é múltiplo do m.c.m. desses divisores.
Explicando como calcular o m.c.m. de forma didática (método por fatoração prima):
- Fazer a fatoração prima de cada número:
.
.
.
. - Para obter o m.c.m. toma-se, para cada primo, a maior potência que aparece entre as fatorações. Aqui:
- primo
: maior potência é (vem de ); - primo
: maior potência é (vem de ou ); - primo
: maior potência é .
- primo
- Portanto o m.c.m. é
Passo 3
Calcule o valor numérico do m.c.m. e interprete.
- Calcular:
- Conclusão: qualquer
que satisfaça as condições do enunciado precisa ser múltiplo de . Em outras palavras, deve ser da forma com inteiro positivo.
Passo 4
Testar as alternativas dadas (divisibilidade por
) de forma simples e prática.
Verificamos cada opção dividindo por
e checando se o resultado é inteiro:
- Para
: (não inteiro) → descartada. - Para
: (inteiro) → candidata válida. - Para
: (não inteiro) → descartada. - Para
: (não inteiro) → descartada. - Para
: (não inteiro) → descartada.
Só a alternativa
é múltiplo de
, logo é a única que satisfaz todas as condições (trazer bandejas inteiras para cada prato).
Resposta
(b) 120