(CM-RJ) Na festa de casamento de Márcia, foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese, carne e massa. Garçons serviam os convidados utilizando pequenas bandejas. A quantidade servida era aproximadamente igual para todos, sem repetição. Todos os convidados se serviam de todos os pratos oferecidos e as bandejas retornavam à copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as de maionese, 4 pessoas, as de carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas cada. Nessas condições, dos números abaixo apresentados, só um deles pode corresponder ao total de convidados que foram à festa de Márcia. Assinale-o:
(a) 90
(b) 120
(c) 144
(d) 150
(e) 200

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
  • O enunciado fala de um total de convidados, que chamarei de N.
  • Todos os convidados se serviram de todos os pratos oferecidos (arroz, maionese, carne e massa).
  • Cada bandeja de arroz serve 3 pessoas.
  • Cada bandeja de maionese serve 4 pessoas.
  • Cada bandeja de carne serve 5 pessoas.
  • Cada bandeja de massa serve 6 pessoas.
  • As bandejas retornavam à copa sempre vazias (ou seja, não sobrou comida em bandejas).
  • “Sem repetição” indica que cada convidado pegou uma porção de cada prato (não houve repetições/porções extras de um mesmo prato por parte de convidados).
O que o enunciado pede: entre as opções dadas, qual número pode ser o total N de convidados, compatível com todas as condições acima?

Passo 2

Modelagem matemática e ideia principal (explicando o conceito usado).
  • Se cada bandeja de um certo prato serve k pessoas e as bandejas voltaram vazias, então o número total de convidados N deve ser divisível por k: o número de bandejas usadas é N/k, que precisa ser inteiro.
  • Como isso vale para os quatro pratos com k=3,4,5,6, o número N deve ser múltiplo comum de 3,4,5 e 6.
  • O menor múltiplo comum de vários números é chamado de mínimo múltiplo comum (m.m.c. ou m.c.m.). Para testar se um número é possível, verificamos se ele é múltiplo do m.c.m. desses divisores.
Explicando como calcular o m.c.m. de forma didática (método por fatoração prima):
  • Fazer a fatoração prima de cada número:
    3 = 3.
    4 = 2^2.
    5 = 5.
    6 = 2\cdot3.
  • Para obter o m.c.m. toma-se, para cada primo, a maior potência que aparece entre as fatorações. Aqui:
    • primo 2: maior potência é 2^2 (vem de 4);
    • primo 3: maior potência é 3 (vem de 3 ou 6);
    • primo 5: maior potência é 5.
  • Portanto o m.c.m. é
\mathrm{mcm}(3,4,5,6)=2^2\cdot3\cdot5.

Passo 3

Calcule o valor numérico do m.c.m. e interprete.
  • Calcular:
2^2\cdot3\cdot5 = 4\cdot3\cdot5 = 12\cdot5 = 60.
  • Conclusão: qualquer N que satisfaça as condições do enunciado precisa ser múltiplo de 60. Em outras palavras, N deve ser da forma N=60m com m inteiro positivo.

Passo 4

Testar as alternativas dadas (divisibilidade por 60) de forma simples e prática.
Verificamos cada opção dividindo por 60 e checando se o resultado é inteiro:
  • Para 90: \dfrac{90}{60}=1{,}5 (não inteiro) → descartada.
  • Para 120: \dfrac{120}{60}=2 (inteiro) → candidata válida.
  • Para 144: \dfrac{144}{60}=2{,}4 (não inteiro) → descartada.
  • Para 150: \dfrac{150}{60}=2{,}5 (não inteiro) → descartada.
  • Para 200: \dfrac{200}{60}=3{,}333\ldots (não inteiro) → descartada.
Só a alternativa 120 é múltiplo de 60, logo é a única que satisfaz todas as condições (trazer bandejas inteiras para cada prato).

Resposta

(b) 120

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