(Fuvest) Para passar de uma margem a outra de um rio, uma pessoa se pendura na extremidade de um cipó esticado, formando um ângulo de 30^{\circ} com a vertical, e inicia, com velocidade nula, um movimento pendular. Do outro lado do rio, a pessoa se solta do cipó no instante em que sua velocidade fica novamente igual a zero. Imediatamente antes de se soltar, sua aceleração tem

Note e adote:

Forças dissipativas e o tamanho da pessoa devem ser ignorados.
A aceleração da gravidade local é g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
\operatorname{sen} 30^{\circ}=\cos 60^{\circ}=0,5
\cos 30^{\circ}=\operatorname{sen} 60^{\circ} \approx 0,9
a) valor nulo.
b) direção que forma um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} a vertical e módulo 9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
c) direção que forma um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} a vertical e módulo 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
d) direção que forma um ângulo de 60^{\circ} com a vertical e módulo 9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
e) direção que forma um ângulo de 60^{\circ} \mathrm{com} a vertical e módulo 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: a pessoa está pendurada no fim de um cipó, formando um ângulo de \,30^\circ, com a vertical no início, parte do repouso e realiza um movimento pendular até o outro lado do rio.
  • Dado: a pessoa solta o cipó no instante em que sua velocidade é novamente nula (ou seja, no ponto de retorno do outro lado).
  • Dado: desprezam-se forças dissipativas e o tamanho da pessoa; g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Dado: \sin 30^\circ=0{,}5 e \cos 30^\circ\approx0{,}9.
  • Pedido: determinar, imediatamente antes de ela se soltar no outro lado, qual é a aceleração (módulo e direção). As alternativas são as opções (a)–(e).
Observações úteis que vou usar depois (já tiradas do enunciado):
  • o instante indicado é um ponto de retorno: a velocidade é nula ali;
  • o cipó impõe um movimento ao longo de um arco (trajetória circular de raio igual ao comprimento do cipó).

Passo 2

Descrever as forças e como obter a aceleração: desenho mental e decomposição.
  • Forças atuantes no corpo (massa m) no instante considerado: o peso \,m\vec{g}\, (vertical para baixo) e a tensão \vec{T} ao longo do cipó (direção radial, apontando para o ponto de suspensão).
  • Para analisar movimentos circulares pendulares é útil decompor forças em componentes radial (ao longo do cipó, direção do raio) e tangencial (perpendicular ao cipó, ao longo do arco).
  • Definições que vou usar:
    • a_r = componente radial da aceleração (direcionada para o centro do movimento);
    • a_t = componente tangencial da aceleração (direcionada ao longo do arco, positiva no sentido de aumento do ângulo);
    • L = comprimento do cipó (não precisamos do valor numérico, apenas que é o raio do arco).
  • Lei de Newton em componentes:
    • radial: \, \sum F_r = m a_r,
    • tangencial: \, \sum F_t = m a_t.

Passo 3

Calcular as componentes das forças (peso) no referencial radial/tangencial.
  • A decomposição do peso \,m\vec{g}\, em componentes, quando o cipó faz ângulo \theta com a vertical, é:
    • componente radial (ao longo do cipó, no sentido apontando para baixo ao longo do raio): m g \cos\theta;
    • componente tangencial (perpendicular ao cipó, tendendo a devolver a massa para o equilíbrio): m g \sin\theta.
  • No nosso caso \theta=30^\circ. Então as magnitudes são m g \cos 30^\circ e m g \sin 30^\circ. (Valores numéricos serão usados mais adiante.)

Passo 4

Aplicar a condição do instante de soltura: velocidade nula implica aceleração radial nula?
  • Num movimento circular, a componente radial da aceleração é \,a_r = v^2 / L, dirigida para o centro. Se a velocidade é v=0 no ponto de retorno, então a_r = \frac{v^2}{L} = 0.
  • Pela equação radial de Newton: \sum F_r = T - m g \cos\theta = m a_r.Como a_r=0, temos T = m g \cos\theta. Isso mostra que a tensão existe, mas não gera aceleração radial naquele instante. Conclusão: o único termo de aceleração não nulo pode ser o tangencial.

Passo 5

Encontrar a componente tangencial da aceleração (magnitude e sentido).
  • A equação tangencial de Newton é \sum F_t = - m g \sin\theta = m a_t.Explico: o sinal negativo mostra que a força tangencial do peso aponta para reduzir o ângulo (isto é, para o equilíbrio), enquanto adotando a_t positivo no sentido de aumento do ângulo resulta em a_t = -g \sin\theta.
  • Portanto a magnitude da aceleração tangencial é |a_t| = g \sin\theta.
  • Substituindo \theta=30^\circ e g=10\\ \mathrm{m/s^2}: |a_t| = 10\cdot\sin 30^\circ = 10\cdot 0{,}5 = 5\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Determinar a direção da aceleração em relação à vertical.
  • No instante considerado a aceleração total é apenas tangencial (porque a_r=0), então o vetor aceleração é perpendicular ao cipó (perpendicular à direção do fio/corda).
  • Se o cipó forma ângulo \theta=30^\circ com a vertical, a direção perpendicular ao cipó forma um ângulo de 90^\circ-\theta com a vertical.
  • Logo o ângulo entre a aceleração (direção tangencial) e a vertical é 90^\circ - \theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.
  • Quanto ao sentido (lado para o qual a aceleração aponta): aponta em direção ao equilíbrio (isto é, para o lado interno do arco), mas a questão pede apenas o ângulo com a vertical e o módulo.

Passo 7

Concluir comparando com as alternativas.
  • Encontramos que imediatamente antes da pessoa se soltar a aceleração tem módulo 5\\ \mathrm{m/s^2} e direção que forma 60^\circ com a vertical. Isso corresponde à alternativa (e).

Resposta

e)

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