(Fuvest) Para passar de uma margem a outra de um rio, uma pessoa se pendura na extremidade de um cipó esticado, formando um ângulo de
com a vertical, e inicia, com velocidade nula, um movimento pendular. Do outro lado do rio, a pessoa se solta do cipó no instante em que sua velocidade fica novamente igual a zero. Imediatamente antes de se soltar, sua aceleração tem
Note e adote:
Forças dissipativas e o tamanho da pessoa devem ser ignorados.
A aceleração da gravidade local é
.
a) valor nulo.
b) direção que forma um ângulo de
a vertical e módulo
.
c) direção que forma um ângulo de
a vertical e módulo
.
d) direção que forma um ângulo de
com a vertical e módulo
.
e) direção que forma um ângulo de
a vertical e módulo
.
A aceleração da gravidade local é
a) valor nulo.
b) direção que forma um ângulo de
c) direção que forma um ângulo de
d) direção que forma um ângulo de
e) direção que forma um ângulo de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dado: a pessoa está pendurada no fim de um cipó, formando um ângulo de
, com a vertical no início, parte do repouso e realiza um movimento pendular até o outro lado do rio. - Dado: a pessoa solta o cipó no instante em que sua velocidade é novamente nula (ou seja, no ponto de retorno do outro lado).
- Dado: desprezam-se forças dissipativas e o tamanho da pessoa;
. - Dado:
e . - Pedido: determinar, imediatamente antes de ela se soltar no outro lado, qual é a aceleração (módulo e direção). As alternativas são as opções (a)–(e).
Observações úteis que vou usar depois (já tiradas do enunciado):
- o instante indicado é um ponto de retorno: a velocidade é nula ali;
- o cipó impõe um movimento ao longo de um arco (trajetória circular de raio igual ao comprimento do cipó).
Passo 2
Descrever as forças e como obter a aceleração: desenho mental e decomposição.
- Forças atuantes no corpo (massa
) no instante considerado: o peso (vertical para baixo) e a tensão ao longo do cipó (direção radial, apontando para o ponto de suspensão). - Para analisar movimentos circulares pendulares é útil decompor forças em componentes radial (ao longo do cipó, direção do raio) e tangencial (perpendicular ao cipó, ao longo do arco).
- Definições que vou usar:
-
= componente radial da aceleração (direcionada para o centro do movimento); -
= componente tangencial da aceleração (direcionada ao longo do arco, positiva no sentido de aumento do ângulo); -
= comprimento do cipó (não precisamos do valor numérico, apenas que é o raio do arco).
-
- Lei de Newton em componentes:
- radial:
, - tangencial:
.
- radial:
Passo 3
Calcular as componentes das forças (peso) no referencial radial/tangencial.
- A decomposição do peso
em componentes, quando o cipó faz ângulo com a vertical, é: - componente radial (ao longo do cipó, no sentido apontando para baixo ao longo do raio):
; - componente tangencial (perpendicular ao cipó, tendendo a devolver a massa para o equilíbrio):
.
- componente radial (ao longo do cipó, no sentido apontando para baixo ao longo do raio):
- No nosso caso
. Então as magnitudes são e . (Valores numéricos serão usados mais adiante.)
Passo 4
Aplicar a condição do instante de soltura: velocidade nula implica aceleração radial nula?
- Num movimento circular, a componente radial da aceleração é
, dirigida para o centro. Se a velocidade é no ponto de retorno, então - Pela equação radial de Newton:
Como , temos . Isso mostra que a tensão existe, mas não gera aceleração radial naquele instante. Conclusão: o único termo de aceleração não nulo pode ser o tangencial.
Passo 5
Encontrar a componente tangencial da aceleração (magnitude e sentido).
- A equação tangencial de Newton é
Explico: o sinal negativo mostra que a força tangencial do peso aponta para reduzir o ângulo (isto é, para o equilíbrio), enquanto adotando positivo no sentido de aumento do ângulo resulta em . - Portanto a magnitude da aceleração tangencial é
- Substituindo
e :
Passo 6
Determinar a direção da aceleração em relação à vertical.
- No instante considerado a aceleração total é apenas tangencial (porque
), então o vetor aceleração é perpendicular ao cipó (perpendicular à direção do fio/corda). - Se o cipó forma ângulo
com a vertical, a direção perpendicular ao cipó forma um ângulo de com a vertical. - Logo o ângulo entre a aceleração (direção tangencial) e a vertical é
- Quanto ao sentido (lado para o qual a aceleração aponta): aponta em direção ao equilíbrio (isto é, para o lado interno do arco), mas a questão pede apenas o ângulo com a vertical e o módulo.
Passo 7
Concluir comparando com as alternativas.
- Encontramos que imediatamente antes da pessoa se soltar a aceleração tem módulo
e direção que forma com a vertical. Isso corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)