(Fuvest - SP) O determinante da matriz \left[\begin{array}{ll}a & b \\\ b & a\end{array}\right], onde 2 a=e^{x}+e^{-x} e 2 b=e^{x}-e^{-x} é igual a:
a) 1
b) -1
c) e^{x}
d) e^{-x}
e) 0

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
\begin{pmatrix} a & b\\\ b & a \end{pmatrix}
sujeita às definições 2a=e^{x}+e^{-x} e 2b=e^{x}-e^{-x}. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 2\times2 e manipulação algébrica de exponenciais.

Passo 2

Isolamos a e b em função de x:
a=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad b=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.

Passo 3

Lembrando que o determinante de \begin{pmatrix}a & b\\\ b & a\end{pmatrix} é
\det = a^2 - b^2,
vamos substituir as expressões encontradas.

Passo 4

Substituindo a e b em \det=a^2-b^2, obtemos
\det =\frac{(e^{x}+e^{-x})^2 - (e^{x}-e^{-x})^2}{4}.
No numerador,
(e^{x}+e^{-x})^2 - (e^{x}-e^{-x})^2 = \bigl(e^{2x}+2+e^{-2x}\bigr) - \bigl(e^{2x}-2+e^{-2x}\bigr) =4.
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\det = \frac{4}{4} = 1.

Resposta

1

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