(g) (15 pontos) Mostre que
não é um homomorfismo de
em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos mostrar que ela não é um homomorfismo entre os conjuntos
e
. Isso envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre homomorfismos de grupos. Para resolver, vamos lembrar o que é um homomorfismo e verificar se
satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo. Em álgebra, um homomorfismo entre dois grupos (ou estruturas algébricas similares) é uma função que preserva a operação do grupo. Isso significa que, se temos grupos
e
, uma função
é um homomorfismo se, para todo
, a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, aplicar a operação em
e depois aplicar
deve dar o mesmo resultado que aplicar
em cada elemento primeiro e depois aplicar a operação em
.
Passo 3
No nosso caso, precisamos identificar quais são as operações
e
nos conjuntos
e
respectivamente. Supondo que
seja a operação de adição vetorial padrão e
seja a operação de produto (já que
com multiplicação não inclui o vetor nulo), temos:
Agora, vamos verificar se
preserva essas operações.
Passo 4
Vamos aplicar a condição de homomorfismo:
Por outro lado:
Para
ser um homomorfismo, precisaríamos que:
Isso deve ser verdadeiro para todos
em
.
Passo 5
Vamos verificar se a igualdade acima sempre se sustenta. Por exemplo, considere
:
Claramente,
, o que viola a condição de homomorfismo.
Passo 6
Como mostramos que existe pelo menos um caso onde
, podemos concluir que
não preserva a operação entre os conjuntos dados.
Resposta
Portanto, a função
não é um homomorfismo de
em
porque não preserva a operação definida entre os conjuntos.