Mostre que, se
e
é uma base de
e
é uma base de
então
é uma base para V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que se um espaço vetorial
é a soma direta de dois subespaços
e
(ou seja,
), e se temos bases para esses subespaços, então a união dessas bases forma uma base para
. Vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, bases e soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que todo vetor em
pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Além disso, essa soma é direta, o que implica que a única maneira de um vetor estar em ambos os subespaços é sendo o vetor zero.
Passo 3
Agora, temos
como uma base para
e
como uma base para
. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Passo 4
Queremos provar que a união dessas duas bases,
, é uma base para
. Para isso, precisamos mostrar duas coisas:
- Geração: Que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . - Independência Linear: Que não existe uma combinação linear não trivial dos vetores em
que resulte no vetor zero.
Passo 5
Geração: Como
, qualquer vetor
pode ser escrito como
, onde
e
. Como
gera
, podemos escrever
como uma combinação linear dos
. Da mesma forma,
pode ser escrito como uma combinação linear dos
. Portanto,
pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em
.
Passo 6
Independência Linear: Suponha que uma combinação linear dos vetores em
resulte no vetor zero:
Como
, a única maneira disso acontecer é se
em
e em
. Como
e
são bases e, portanto, são conjuntos linearmente independentes, todos os coeficientes
e
devem ser zero. Isso mostra que os vetores em
são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, a união das bases
e
, que é
, é uma base para
.