Mostre que, se V=U oplus W e Bu=u1, u2, cdots, uk é uma base de U e Bw= w1, w2, cdots, wr é uma base de W então B=u1, u2, cdots, uk, w1, w2, cdots, wr é uma base para V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que se um espaço vetorial é a soma direta de dois subespaços e (ou seja, ), e se temos bases para esses subespaços, então a união dessas bases forma uma base para . Vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, bases e soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de e um vetor de . Além disso, essa soma é direta, o que implica que a única maneira de um vetor estar em ambos os subespaços é sendo o vetor zero.

Passo 3

Agora, temos como uma base para e como uma base para . Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.

Passo 4

Queremos provar que a união dessas duas bases, , é uma base para . Para isso, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Geração: Que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .
  2. Independência Linear: Que não existe uma combinação linear não trivial dos vetores em que resulte no vetor zero.

Passo 5

Geração: Como , qualquer vetor pode ser escrito como , onde e . Como gera , podemos escrever como uma combinação linear dos . Da mesma forma, pode ser escrito como uma combinação linear dos . Portanto, pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em .

Passo 6

Independência Linear: Suponha que uma combinação linear dos vetores em a1u1 + a2u2 + cdots + akuk + b1w1 + b2w2 + cdots + brwr = 0 resulte no vetor zero:
Como , a única maneira disso acontecer é se em e em . Como e são bases e, portanto, são conjuntos linearmente independentes, todos os coeficientes e devem ser zero. Isso mostra que os vetores em são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, a união das bases e , que é , é uma base para .

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