[G, G5] Encontre todos o pontos críticos de f, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que f seja contínua em toda parte.
f(x)=x(x^2-1)

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x)=x(x^2-1) e, em cada um deles, decidir se temos máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. O tema aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou indefinida) e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada de f. Expandindo primeiro,
f(x)=x^3 - x,
então
f'(x)=ddxl(x^3 - xr)=3x^2 - 1

Passo 3

Os pontos críticos surgem de resolver
f'(x)=0 Longrightarrow 3x^2 - 1 = 0 Longrightarrow x^2 = 13 Longrightarrow x = pm 1raiz3
Não há outros pontos críticos, pois f' existe para todo x.

Passo 4

Para classificar usamos o teste da segunda derivada. Primeiro achamos
f''(x)=ddxl(3x^2 - 1r)=6x

Passo 5

Agora avaliamos f'' em cada ponto crítico:
f''!l(tfrac1raiz3r) =6cdot1raiz3 =2raiz3>0 Longrightarrow mínimo relativo, í
f''!l(-tfrac1raiz3r) =6cdotl(-1raiz3r) =-2raiz3<0 Longrightarrow máximo relativo á

Resposta

Pontos críticos e classificação:
x=-1raiz3: máximo relativo.
x=1raiz3: mínimo relativo.

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