[G, G5] Encontre todos o pontos críticos de f, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que f seja contínua em toda parte.
f(x)=ln (21+x^2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=ln!l(21+x^2r)
definida e contínua em todo R. Pede-se encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) e, em cada um, decidir se há máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Para isso vamos usar o cálculo da derivada e o teste da segunda derivada (ou o estudo do sinal de f').

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
f(x)=ln2-ln(1+x^2)
Como ln2 é constante e ddxln(1+x^2)=2x1+x^2, temos
f'(x)=-2x1+x^2

Passo 3

Procuramos as soluções de
f'(x)=0Longrightarrow -2x1+x^2=0Longrightarrow x=0
O denominador nunca zera, logo a derivada existe em todo R e o único ponto crítico é
x=0

Passo 4

Para classificar x=0 usamos a segunda derivada. Diferenciando
f'(x)=-2x1+x^2
pelo quociente, obtemos
f''(x) =-2,(1+x^2)-(-2x),(2x)(1+x^2)^2 =-2-2x^2+4x^2(1+x^2)^2 =2(x^2-1)(1+x^2)^2
Em x=0 vale
f''(0)=2(0-1)1^2=-2<0,
portanto f tem um máximo relativo em x=0. (Alternativamente, nota-se que f'(x)>0 para x<0 e f'(x)<0 para x>0, o que também indica máximo.)

Resposta

O único ponto crítico é x=0, onde f atinge um máximo relativo.

Exercícios relacionados