Encontre todos o pontos críticos de
, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que
seja contínua em toda parte.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida e contínua em todo
. Pede-se encontrar os pontos críticos (onde
ou não existe) e, em cada um, decidir se há máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Para isso vamos usar o cálculo da derivada e o teste da segunda derivada (ou o estudo do sinal de
).
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
Como
é constante e
, temos
Passo 3
Procuramos as soluções de
O denominador nunca zera, logo a derivada existe em todo
e o único ponto crítico é
Passo 4
Para classificar
usamos a segunda derivada. Diferenciando
pelo quociente, obtemos
Em
vale
portanto
tem um máximo relativo em
. (Alternativamente, nota-se que
para
e
para
, o que também indica máximo.)
Resposta
O único ponto crítico é
, onde
atinge um máximo relativo.