Se g(z)=\ln \left(1+e^{2 z}\right), encontre g^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de g(z)=\ln\bigl(1+e^{2z}\bigr) no ponto z=0. O conteúdo envolvido é regra da cadeia e derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Para derivar g(z), use que \frac{d}{dz}\ln(u)=\frac{u'}{u} e tome u=1+e^{2z}. Então
u'=\frac{d}{dz}(1+e^{2z})=2e^{2z}
e
g'(z)=\frac{u'}{u}=\frac{2e^{2z}}{1+e^{2z}}.

Passo 3

Agora avalie em z=0. Como e^{2\cdot0}=1, temos
g'(0)=\frac{2\cdot1}{1+1}=\frac{2}{2}=1.

Resposta

1

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