Se f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}, encontre f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{\ln(x)}{x^{2}} e, em seguida, seu valor em x=1. Para isso vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos u(x)=\ln(x) e v(x)=x^{2}. Calculamos as derivadas:
u'(x)=\frac{1}{x}, \quad v'(x)=2x.
Substituindo na regra do quociente,
f'(x) =\frac{\frac{1}{x}\cdot x^{2}-\ln(x)\cdot 2x}{(x^{2})^{2}} =\frac{x-2x\ln(x)}{x^{4}}.

Passo 3

Fatoramos x no numerador e simplificamos:
\frac{x-2x\ln(x)}{x^{4}} =\frac{x\bigl(1-2\ln(x)\bigr)}{x^{4}} =\frac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=1. Como \ln(1)=0, temos
f'(1)=\frac{1-2\cdot 0}{1^{3}}=1.

Resposta

1

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