Gadolínio-153 é utilizado para detectar osteoporose em pessoas, ele possui um tempo de meia vida de 242 dias. Qual a porcentagem de Gadolfnio-153 em um paciente após 2 anos ( 730 dias).
Obs: Decaimentos radioativos são reações de 1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem.
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a porcentagem de Gadolínio-153 em um paciente após 2 anos (730 dias), sabendo que o tempo de meia-vida é 242 dias e que decaimentos radioativos são reações de \,1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem.”
Informações dadas:
Tempo de meia-vida: \,t_{1/2}=242\\ \text{dias}.
Tempo decorrido: \,t=730\\ \text{dias}.
O que se quer: a porcentagem da quantidade inicial que permanece após \,t=730\\ \text{dias}.
Passo 2
Modelo de decaimento para reação de primeira ordem. A equação que descreve a quantidade \,N(t) em função do tempo é
N(t)=N_0 e^{-k t},
onde:
\,N_0 é a quantidade inicial de radionuclídeo (no tempo \,t=0);
\,N(t) é a quantidade após tempo \,t;
\,k é a constante de decaimento (unidade: \text{dias}^{-1});
e é a base dos logaritmos naturais.
Esta fórmula vem da solução da equação diferencial \,dN/dt=-kN, que é a forma matemática do decaimento exponencial de primeira ordem. Aqui \,k controla a rapidez do decaimento: maior \,k significa decaimento mais rápido.
Passo 3
Relação entre meia-vida e constante de decaimento. Por definição, na meia-vida a quantidade cai à metade, isto é \,N(t_{1/2})=N_0/2. Substituindo na equação do decaimento:
\frac{N_0}{2}=N_0 e^{-k t_{1/2}}.
Dividindo por \,N_0 e aplicando logaritmo natural:
Interpretação rápida: após pouco mais de 3 meias-vidas (\,3{,}0165), resta um pouco mais que \,1/8 (que seria exatamente 12{,}5\%); o valor cai ligeiramente abaixo de \,12{,}5\% por causa da fração extra de meia-vida.