Gadolínio-153 é utilizado para detectar osteoporose em pessoas, ele possui um tempo de meia vida de 242 dias. Qual a porcentagem de Gadolfnio-153 em um paciente após 2 anos ( 730 dias).
Obs: Decaimentos radioativos são reações de 1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem.

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a porcentagem de Gadolínio-153 em um paciente após 2 anos (730 dias), sabendo que o tempo de meia-vida é 242 dias e que decaimentos radioativos são reações de \,1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem.”
Informações dadas:
  • Tempo de meia-vida: \,t_{1/2}=242\\ \text{dias}.
  • Tempo decorrido: \,t=730\\ \text{dias}.
    O que se quer: a porcentagem da quantidade inicial que permanece após \,t=730\\ \text{dias}.

Passo 2

Modelo de decaimento para reação de primeira ordem. A equação que descreve a quantidade \,N(t) em função do tempo é
N(t)=N_0 e^{-k t},
onde:
  • \,N_0 é a quantidade inicial de radionuclídeo (no tempo \,t=0);
  • \,N(t) é a quantidade após tempo \,t;
  • \,k é a constante de decaimento (unidade: \text{dias}^{-1});
  • e é a base dos logaritmos naturais.
    Esta fórmula vem da solução da equação diferencial \,dN/dt=-kN, que é a forma matemática do decaimento exponencial de primeira ordem. Aqui \,k controla a rapidez do decaimento: maior \,k significa decaimento mais rápido.

Passo 3

Relação entre meia-vida e constante de decaimento. Por definição, na meia-vida a quantidade cai à metade, isto é \,N(t_{1/2})=N_0/2. Substituindo na equação do decaimento:
\frac{N_0}{2}=N_0 e^{-k t_{1/2}}.
Dividindo por \,N_0 e aplicando logaritmo natural:
\frac{1}{2}=e^{-k t_{1/2}} \qquad\Rightarrow\qquad \ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-k t_{1/2}.
Como \,\ln(1/2)=-\ln 2, obtemos
k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Isso faz sentido: a constante de decaimento é a razão entre \ln 2 (constante) e a meia-vida.

Passo 4

Fração remanescente em termos de meia-vida. Substituindo \,k em \,N(t)=N_0 e^{-k t} temos
\frac{N(t)}{N_0}=e^{-\left(\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\right)t}.
Usando propriedades de exponenciais, isso pode ser escrito de forma útil:
\frac{N(t)}{N_0}=2^{-t/t_{1/2}}.
Essa forma é muito prática na prova: a fração que resta é \,2^{-\text{(número de meias-vidas)}}ú, onde o número de meias-vidas é \,t/t_{1/2}.

Passo 5

Aplicando os números do problema. Primeiro calculemos quantas meias-vidas se passaram:
\frac{t}{t_{1/2}}=\frac{730}{242}.
Fazendo a divisão inteira: \,242\cdot 3=726, sobra \,4, portanto
\frac{730}{242}=3+\frac{4}{242}=3{,}0165289\ldots
Agora a fração remanescente é
\frac{N(730)}{N_0}=2^{-3{,}0165289\ldots}=2^{-3}\cdot 2^{-0{,}0165289\ldots}.
Como \,2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125, precisamos avaliar \,2^{-0{,}0165289}. Usando \,2^x=e^{x\ln 2} e aproximando:
2^{-0{,}0165289}=e^{-0{,}0165289\cdot \ln 2}.
Calculando o produto no expoente: \,\ln 2\approx 0{,}69314718, então
-0{,}0165289\cdot \ln 2\approx -0{,}011468.
Logo
2^{-0{,}0165289}\approx e^{-0{,}011468}\approx 0{,}98858\quad(\text{usando }e^{-x}\approx 1-x \text{ para }x \text{ pequeno ou calculadora}).
Multiplicando por \,0{,}125:
\frac{N(730)}{N_0}\approx 0{,}125\times 0{,}98858\approx 0{,}123587.
Convertendo para porcentagem:
\text{Porcentagem remanescente}\approx 0{,}123587\times 100\%=12{,}3587\%\approx 12{,}36\%.
Interpretação rápida: após pouco mais de 3 meias-vidas ( \,3{,}0165), resta um pouco mais que \,1/8 (que seria exatamente 12{,}5\%); o valor cai ligeiramente abaixo de \,12{,}5\% por causa da fração extra de meia-vida.

Resposta

12{,}36\%

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