Para garantir uma vazão praticamente constante no bocal cilíndrico externo durante as variações de entrada de água no tanque, instalou-se um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais e com 0,7 \mathrm{~m} de largura de soleira. A crista do vertedor encontrasse a \mathrm{H}=3 \mathrm{~m} da saída do bocal, colocado no fundo do tanque e com diâmetro 120 mm . Determine: a) o nível de água no tanque para uma vazão de admissão de 126 \mathrm{~L} / \mathrm{s}; b) a máxima vazão de admissão no tanque para a qual se elimina o escoamento pelo vertedor. Dado: coef. de vazão do bocal \mathrm{Cd}=0,82. Assuma condições de equilíbrio nos dois itens.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá as seguintes informações (vou listar claro e organizado para não nos perdermos):
  • Perguntas:
    1. Determinar o nível de água no tanque (altura da lâmina acima da saída do bocal) quando a vazão de admissão é 126\\ \mathrm{L/s}.
    2. Determinar a máxima vazão de admissão para a qual não ocorre escoamento pelo vertedor (ou seja, a lâmina atinge no máximo a crista do vertedor, sem transbordo).
  • Dados fornecidos:
    • Largura da soleira do vertedor: \;L=0{,}7\\ \mathrm{m}.
    • Altura da crista do vertedor em relação à saída do bocal: \;H=3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Bocal cilíndrico no fundo com diâmetro: \;d=120\\ \mathrm{mm}=0{,}12\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de vazão do bocal: \;C_d=0{,}82.
    • Vazão de admissão para o item (a): \;Q_{in}=126\\ \mathrm{L/s}=0{,}126\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Assumimos equilíbrio (vazão de entrada = vazão de saída total) em ambos os itens.
Obs.: o enunciado não deu coeficiente do vertedor; para vertedor retangular de parede fina (sharp-crested), sem contrações laterais, é usual adotar um coeficiente de vazão típico \;C_w\approx0{,}62. Vou usar esse valor e explico o porquê e como isso entra na fórmula no Passo 2.

Passo 2

Formulas físicas que vamos usar (explicadas e com significado das variáveis):
  1. Vazão através do bocal (orifício externo) — fórmula típica de orifício livre:
Q_b = C_d A \sqrt{2 g y},
onde
  • Q_b é a vazão pelo bocal ( \mathrm{m^3/s});
  • C_d é o coeficiente de vazão do bocal (dado, \;0{,}82);
  • A é a área do orifício ( \mathrm{m^2}), A=\dfrac{\pi d^2}{4};
  • g é a gravidade ( \;9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
  • y é a altura do nível de água medida até o centro/saída do bocal (no nosso caso, desde a saída no fundo até a superfície).
Comentário didático: essa fórmula vem de combinar a equação de Bernoulli e a definição de coeficiente de descarga C_d (que corrige perdas e a contração do jato). A dependência é \sqrt{y} porque a velocidade típica de saída é \sqrt{2 g y}.
  1. Vazão sobre o vertedor retangular (crista fina, sem contração lateral) — fórmula prática:
Q_w = \frac{2}{3}\,C_w\,L\,\sqrt{2g}\,h^{3/2},
onde
  • Q_w é a vazão sobre o vertedor ( \mathrm{m^3/s});
  • C_w é o coef. de vazão do vertedor (adotarei \;0{,}62 — valor típico para vertedor afiado);
  • L é a largura da soleira ( \mathrm{m});
  • h é a altura de lâmina sobre a crista do vertedor ( h = y - H, válida apenas quando y>H); se y\le H, então Q_w=0.
Comentário didático: a fórmula básica (sem o C_w) vem da integração da velocidade da coluna livre na região de passagem e dá um termo proporcional a h^{3/2}. O coeficiente C_w corrige efeitos reais (perfil de velocidade, contrações, etc.). Valores práticos ficam em torno de 0{,}6.
  1. Equilíbrio de vazões (condição usada): quando há transbordo ( y>H),
Q_{in} = Q_b(y) + Q_w(y-H).
Se y\le H então Q_{in}=Q_b(y).
Vou agora calcular as constantes numéricas e resolver.

Passo 3

Cálculos dos parâmetros numéricos e expressões simplificadas:
  1. Área do bocal:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0{,}12)^2}{4}.
Calculemos:
(0{,}12)^2=0{,}0144,\qquad A=\pi\cdot\frac{0{,}0144}{4}=\pi\cdot 0{,}0036.
A\approx 3{,}14159265\times 0{,}0036 \approx 0{,}0113097\\ \mathrm{m^2}.
  1. Constante multiplicativa do bocal:
C_d A \sqrt{2g} = C_d A \sqrt{19{,}62}.
Calculemos passo a passo:
\sqrt{2g}=\sqrt{19{,}62}\approx 4{,}42945.
C_d A = 0{,}82 \times 0{,}0113097 \approx 0{,}0092740\\ \mathrm{m^2}.
Logo
Q_b(y) = (C_d A \sqrt{2g})\sqrt{y} \approx 0{,}0092740\times 4{,}42945\\ \sqrt{y}.
Q_b(y) \approx 0{,}04108\\ \sqrt{y}\quad\text{(m}^3\text{/s)}.
  1. Constante do vertedor (adotando C_w=0{,}62):
Q_w(h)=\frac{2}{3}C_w L \sqrt{2g}\; h^{3/2}.
Calculemos a constante:
\frac{2}{3}C_w L \sqrt{2g}=\frac{2}{3}\times 0{,}62\times 0{,}7\times 4{,}42945.
Primeiro \frac{2}{3}\times 0{,}62\approx 0{,}413333. Multiplicando por 0{,}7 \approx 0{,}289333. Multiplicando por 4{,}42945 resulta aproximadamente 1{,}2815.
Portanto
Q_w(h)\approx 1{,}2815\;h^{3/2}\quad\text{(m}^3\text{/s)},\qquad h=y-H.
Resumo das fórmulas numéricas simples que vamos usar:
Q_b(y)\approx 0{,}04108\,\sqrt{y}, \qquad Q_w(y-H)\approx 1{,}2815\,(y-H)^{3/2}\\ \text{(para }y>H\text{)}.

Passo 4

Verificação rápida se o escoamento só pelo bocal é suficiente para Q_{in}=0{,}126\\ \mathrm{m^3/s}:
Se só houvesse o bocal (sem vertedor atuando), a altura necessária seria obtida isolando y em Q_b(y)=Q_{in}:
y_{req}=\left(\frac{Q_{in}}{C_d A \sqrt{2g}}\right)^2 =\left(\frac{0{,}126}{0{,}04108}\right)^2.
Calcule:
\frac{0{,}126}{0{,}04108}\approx 3{,}066\quad\Rightarrow\quad y_{req}\approx (3{,}066)^2\approx 9{,}40\\ \mathrm{m}.
Esse valor y_{req}\approx 9{,}4\\ \mathrm{m} é muito maior que a crista do vertedor ( H=3\\ \mathrm{m}). Conclusão: com Q_{in}=0{,}126\\ \mathrm{m^3/s} o bocal sozinho demandaria uma lâmina maior que a crista, então o vertedor vai entrar em ação: teremos y>H e a vazão total será soma de Q_b e Q_w. Portanto é necessário resolver a equação global do equilíbrio.

Passo 5

Equação de equilíbrio para y>H:
Q_{in} = Q_b(y) + Q_w(y-H),
ou numericamente
0{,}126 = 0{,}04108\,\sqrt{y} + 1{,}2815\,(y-3)^{3/2}.
Essa é uma equação não-linear em y; vamos resolver por tentativa sucessiva (método numérico simples), avaliando o lado direito para alguns palpites até achar y que zere a diferença.
Avaliações (vou mostrar as contas para cada palpite, para você poder reproduzir na prova com uma calculadora básica):
  • Para y=3{,}10\\ \mathrm{m}: \sqrt{y}=\sqrt{3{,}10}\approx 1{,}7607,\quad Q_b\approx 0{,}04108\times1{,}7607\approx 0{,}0723.
y-H=0{,}10,\quad (y-H)^{3/2}=0{,}10^{1{,}5}=0{,}0316228,\quad Q_w\approx 1{,}2815\times0{,}0316228\approx 0{,}0405.
Soma Q_b+Q_w\approx 0{,}0723+0{,}0405=0{,}1128 (menor que 0{,}126).
  • Para y=3{,}20\\ \mathrm{m}: \sqrt{y}\approx 1{,}7889,\quad Q_b\approx 0{,}04108\times1{,}7889\approx 0{,}0734.
y-H=0{,}20,\quad (y-H)^{3/2}=0{,}089443,\quad Q_w\approx 1{,}2815\times0{,}089443\approx 0{,}1146.
Soma Q_b+Q_w\approx 0{,}1880 (maior que 0{,}126). Logo a solução está entre 3{,}10 e 3{,}20.
Aprimorando entre esses valores:
  • Para y=3{,}122\\ \mathrm{m}: \sqrt{y}\approx 1{,}7679,\quad Q_b\approx 0{,}04108\times1{,}7679\approx 0{,}07255.
y-H=0{,}122,\quad (y-H)^{3/2}=0{,}042566,\quad Q_w\approx 1{,}2815\times0{,}042566\approx 0{,}05454.
Soma Q_b+Q_w\approx 0{,}12709 (ligeiramente maior que 0{,}126).
  • Para y=3{,}1205\\ \mathrm{m}: \sqrt{y}\approx 1{,}7673,\quad Q_b\approx 0{,}04108\times1{,}7673\approx 0{,}07253.
y-H=0{,}1205,\quad (y-H)^{3/2}\approx 0{,}04175,\quad Q_w\approx 1{,}2815\times0{,}04175\approx 0{,}05350.
Soma Q_b+Q_w\approx 0{,}07253+0{,}05350=0{,}12603 (praticamente igual a 0{,}126 dentro de arredondamento).
Portanto a solução numérica é aproximadamente
y\approx 3{,}1205\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três casas decimais (próprio para prova): y\approx 3{,}121\\ \mathrm{m}. Interpretação: o nível sobe cerca de 0{,}121\\ \mathrm{m} acima da crista e o excesso é descarregado pelo vertedor até que a soma das duas vazões iguale a admissão.

Passo 6

Item (b) — máxima vazão de admissão para a qual se elimina o escoamento pelo vertedor:
Condicional: para eliminar escoamento pelo vertedor é preciso que a lâmina não ultrapasse a crista, ou seja y\le H. A maior situação limite ocorre com y=H (lâmina exatamente na crista). Então a máxima vazão admissível sem transbordo é a vazão do bocal com y=H:
Q_{max} = Q_b(y=H) = 0{,}04108\sqrt{H}.
Com H=3{,}0\\ \mathrm{m}:
\sqrt{3}=1{,}73205,\qquad Q_{max}\approx 0{,}04108\times 1{,}73205\approx 0{,}07115\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q_{max}\approx 0{,}07115\\ \mathrm{m^3/s}=71{,}15\\ \mathrm{L/s}.
Ou, arredondando para valores úteis em prova, Q_{max}\approx 71{,}2\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

(a) y \approx 3{,}121\\ \mathrm{m}.
(b) Q_{max} \approx 0{,}07115\\ \mathrm{m^3/s}=71{,}15\\ \mathrm{L/s}.

Exercícios relacionados