Para garantir uma vazão praticamente constante no bocal cilíndrico externo durante as variações de entrada de água no tanque, instalou-se um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais e com
de largura de soleira. A crista do vertedor encontrasse a
da saída do bocal, colocado no fundo do tanque e com diâmetro 120 mm . Determine: a) o nível de água no tanque para uma vazão de admissão de
; b) a máxima vazão de admissão no tanque para a qual se elimina o escoamento pelo vertedor. Dado: coef. de vazão do bocal
. Assuma condições de equilíbrio nos dois itens.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá as seguintes informações (vou listar claro e organizado para não nos perdermos):
-
Perguntas:
- Determinar o nível de água no tanque (altura da lâmina acima da saída do bocal) quando a vazão de admissão é
. - Determinar a máxima vazão de admissão para a qual não ocorre escoamento pelo vertedor (ou seja, a lâmina atinge no máximo a crista do vertedor, sem transbordo).
- Determinar o nível de água no tanque (altura da lâmina acima da saída do bocal) quando a vazão de admissão é
-
Dados fornecidos:
- Largura da soleira do vertedor:
. - Altura da crista do vertedor em relação à saída do bocal:
. - Bocal cilíndrico no fundo com diâmetro:
. - Coeficiente de vazão do bocal:
. - Vazão de admissão para o item (a):
. - Assumimos equilíbrio (vazão de entrada = vazão de saída total) em ambos os itens.
- Largura da soleira do vertedor:
Obs.: o enunciado não deu coeficiente do vertedor; para vertedor retangular de parede fina (sharp-crested), sem contrações laterais, é usual adotar um coeficiente de vazão típico
. Vou usar esse valor e explico o porquê e como isso entra na fórmula no Passo 2.
Passo 2
Formulas físicas que vamos usar (explicadas e com significado das variáveis):
- Vazão através do bocal (orifício externo) — fórmula típica de orifício livre:
onde
-
é a vazão pelo bocal ( ); -
é o coeficiente de vazão do bocal (dado, ); -
é a área do orifício ( ), ; -
é a gravidade ( ); -
é a altura do nível de água medida até o centro/saída do bocal (no nosso caso, desde a saída no fundo até a superfície).
Comentário didático: essa fórmula vem de combinar a equação de Bernoulli e a definição de coeficiente de descarga
(que corrige perdas e a contração do jato). A dependência é
porque a velocidade típica de saída é
.
- Vazão sobre o vertedor retangular (crista fina, sem contração lateral) — fórmula prática:
onde
-
é a vazão sobre o vertedor ( ); -
é o coef. de vazão do vertedor (adotarei — valor típico para vertedor afiado); -
é a largura da soleira ( ); -
é a altura de lâmina sobre a crista do vertedor ( , válida apenas quando ); se , então .
Comentário didático: a fórmula básica (sem o
) vem da integração da velocidade da coluna livre na região de passagem e dá um termo proporcional a
. O coeficiente
corrige efeitos reais (perfil de velocidade, contrações, etc.). Valores práticos ficam em torno de
.
- Equilíbrio de vazões (condição usada): quando há transbordo (
),
Se
então
.
Vou agora calcular as constantes numéricas e resolver.
Passo 3
Cálculos dos parâmetros numéricos e expressões simplificadas:
- Área do bocal:
Calculemos:
- Constante multiplicativa do bocal:
Calculemos passo a passo:
Logo
- Constante do vertedor (adotando
):
Calculemos a constante:
Primeiro
. Multiplicando por
dá
. Multiplicando por
resulta aproximadamente
.
Portanto
Portanto
Resumo das fórmulas numéricas simples que vamos usar:
Passo 4
Verificação rápida se o escoamento só pelo bocal é suficiente para
:
Se só houvesse o bocal (sem vertedor atuando), a altura necessária seria obtida isolando
em
:
Calcule:
Esse valor
é muito maior que a crista do vertedor (
). Conclusão: com
o bocal sozinho demandaria uma lâmina maior que a crista, então o vertedor vai entrar em ação: teremos
e a vazão total será soma de
e
. Portanto é necessário resolver a equação global do equilíbrio.
Passo 5
Equação de equilíbrio para
:
ou numericamente
Essa é uma equação não-linear em
; vamos resolver por tentativa sucessiva (método numérico simples), avaliando o lado direito para alguns palpites até achar
que zere a diferença.
Avaliações (vou mostrar as contas para cada palpite, para você poder reproduzir na prova com uma calculadora básica):
- Para
:
Soma
(menor que
).
- Para
:
Soma
(maior que
). Logo a solução está entre
e
.
Aprimorando entre esses valores:
- Para
:
Soma
(ligeiramente maior que
).
- Para
:
Soma
(praticamente igual a
dentro de arredondamento).
Portanto a solução numérica é aproximadamente
Arredondando para três casas decimais (próprio para prova):
. Interpretação: o nível sobe cerca de
acima da crista e o excesso é descarregado pelo vertedor até que a soma das duas vazões iguale a admissão.
Passo 6
Item (b) — máxima vazão de admissão para a qual se elimina o escoamento pelo vertedor:
Condicional: para eliminar escoamento pelo vertedor é preciso que a lâmina não ultrapasse a crista, ou seja
. A maior situação limite ocorre com
(lâmina exatamente na crista). Então a máxima vazão admissível sem transbordo é a vazão do bocal com
:
Com
:
Convertendo para litros por segundo:
Ou, arredondando para valores úteis em prova,
.
Resposta
(a)
.
(b)
.