Questão) Um escoamento permanente uniforme, com altura de água igual a
, ocorre em um canal retangular de 3 m de largura com vazão de
. Determine: a) o tipo de escoamento uniforme, fluvial ou torrencial; b) a mínima altura de um degrau que pode ser colocado no fundo do canal, para produzir escoamento crítico; c) o que acontece, a montante e a jusante do degrau, se a altura do degrau for maior que o valor calculado no item anterior? E se for menor?; d) sem a colocação do degrau qual seria a máxima largura de contração na seção pra produzir escoamento crítico.
Passo 1
Dados do enunciado (o que temos) e o que é pedido (as perguntas):
- Altura de água (profundidade) na seção inicial:
. - Largura do canal (seção retangular):
. - Vazão total:
. - Aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos):
.
Perguntas:
a) Determinar se o escoamento uniforme é fluvial (subcrítico) ou torrencial (supercrítico).
b) Determinar a mínima altura do degrau no fundo do canal para produzir escoamento crítico.
c) Indicar o que acontece a montante e a jusante do degrau se a altura do degrau for maior que o valor do item (b) e o que acontece se for menor.
d) Sem colocar o degrau, qual seria a máxima largura de contração (nova largura do canal na seção contraída) para produzir escoamento crítico.
a) Determinar se o escoamento uniforme é fluvial (subcrítico) ou torrencial (supercrítico).
b) Determinar a mínima altura do degrau no fundo do canal para produzir escoamento crítico.
c) Indicar o que acontece a montante e a jusante do degrau se a altura do degrau for maior que o valor do item (b) e o que acontece se for menor.
d) Sem colocar o degrau, qual seria a máxima largura de contração (nova largura do canal na seção contraída) para produzir escoamento crítico.
Passo 2
Primeiro passo para (a): calcular velocidade média e o número de Froude para decidir o tipo de escoamento.
Explicação das fórmulas (rápida aula):
- Área da seção retangular:
. Aqui isso dá a área molhada. - Velocidade média:
. Isso vem da conservação da vazão. - Número de Froude (indicador de regime):
. - Interpretando: se
o escoamento é subcrítico (fluvial); se é supercrítico (torrencial); se é crítico.
- Interpretando: se
Cálculos:
- Área:
- Velocidade:
- Raiz:
- Número de Froude:
Conclusão do passo: como
, o escoamento é subcrítico, isto é, fluvial.
Passo 3
Para o item (b) precisamos do conceito de profundidade crítica e da energia específica.
Aulas/explicações necessárias:
- Vazão por unidade de largura (no canal retangular):
. Unidade: . - Condição de escoamento crítico (para seção retangular):
. Usando (porque ) obtemos a relação Assim, para o caso crítico ( ) tem-se Essa é a fórmula prática para a profundidade crítica em canal retangular. - Energia específica por unidade de peso (head específico):
- Interpretação:
é a energia potencial (profundidade) e a segunda parcela é a energia cinética transformada em “cabeça” (velocidade). Se elevarmos o fundo por , a energia disponível relativa ao novo fundo diminui em .
- Interpretação:
Cálculos para
:
- Primeiro
- Então
Calculemos passo a passo:
Portanto a profundidade crítica associada à mesma vazão e nova largura
é
Passo 4
Agora achamos a mínima altura do degrau para produzir escoamento crítico usando a energia específica.
Explicação do raciocínio (didático):
- Inicialmente, em relação ao fundo original, a energia específica na seção inicial é
- Se colocarmos um degrau ascendente de altura
na seção, a energia disponível (relativa ao novo fundo) passa a ser . - Para que a profundidade no ponto do degrau seja crítica, a energia disponível nesse ponto deve ser igual à energia específica crítica
associada a . - Para canal retangular em condição crítica vale a relação simples
(provém de substituir a condição crítica na expressão de ).
Cálculos numéricos:
-
Primeiro calculemos
:
-
Energia crítica:
-
Para que o ponto do degrau seja crítico, precisamos de
. Daí
Interpretação: a mínima altura do degrau que garante que a energia disponível seja exatamente a energia mínima crítica é
. Se o degrau for menor que isso, a energia disponível ainda é maior que
e a profundidade na seção pode ser subcrítica ou supercrítica dependendo das condições; se for exatamente esse valor teremos escoamento crítico no degrau.
Passo 5
Explicando didaticamente o que ocorre a montante e a jusante do degrau nos dois casos (maior/menor que
).
Conceito gráfico e físico curto:
- A curva da energia específica
para um dado tem um mínimo em . Para um nível de energia existem duas profundidades possíveis: uma subcrítica (maior profundidade) e uma supercrítica (menor profundidade). Para há uma única profundidade crítica. Para não existe profundidade real que satisfaça a conservação de energia (situação inviável sem outras dissipações).
Casos:
- Se a altura do degrau for exatamente
:
- A energia disponível logo após elevar o fundo fica
, então a profundidade na seção do degrau fica crítica ( ). - Montante do degrau: o escoamento continua subcrítico (o trecho a montante praticamente com a profundidade original, eventualmente com um pequeno ajuste local).
- Jusante do degrau: a partir do ponto crítico o escoamento pode passar para supercrítico depois do ponto crítico (região de aceleração), conforme continuidade e energia.
- Se a altura do degrau for menor que
(degrau pequeno):
- Temos
. Então existem duas soluções de profundidade imediatamente após o degrau: um nível subcrítico (profundo) e outro supercrítico (raso). - Normalmente, se as condições a jusante permitem (canal longo com livre escoamento), o escoamento tende a permanecer subcrítico e apenas haverá uma pequena mudança de seção e uma adaptação da superfície (perfil de retorno), sem formação obrigatória de salto hidráulico. A informação a jusante controla o que acontece porque sinais de superfície se propagam para montante em escoamento subcrítico.
- Em termos simples: degrau pequeno → o escoamento continua subcrítico com um ajuste de superfície (backwater leve), não necessariamente crítico nem supercrítico.
- Se a altura do degrau for maior que
(degrau grande):
- Então
. Não existe profundidade real que satisfaça a equação de energia sem dissipar energia adicional; o escoamento não pode atravessar a seção mantendo só energia (não há solução estável sub/supercrítica conservando energia). - O comportamento físico típico: a elevação do fundo causa um aumento da lâmina d’água a montante (formação de uma região de contracção com aumento de profundidade — uma “réplica” ou backwater). Para fazer o escoamento passar, normalmente surge um salto hidráulico a montante do degrau, onde a energia é dissipada e a profundidade aumenta até que a nova energia disponível (após dissipação no salto) permita que o escoamento passe pelo degrau com profundidade compatível. Jusante do salto geralmente ficará escoamento subcrítico rico em altura; imediatamente depois do degrau pode aparecer escoamento supercrítico dependendo da geometria.
- Em resumo: degrau grande → formação de backwater/elevação significativa da lâmina a montante; pode haver salto hidráulico a montante; jusante tende a ficar em escoamento mais rápido (supercrítico) na região do degrau até que algum ajuste ocorra.
Observação intuitiva: quando o degrau é muito grande, a água “não tem energia suficiente” para passar no degrau mantendo a mesma dinâmica; então a superfície sobe a montante e dissipações (salto) acontecem para ajustar.
Passo 6
Item (d): máxima largura de contração sem degrau que produz escoamento crítico.
Raciocínio e fórmulas (passo a passo):
- Sem degrau, a energia específica
é preservada ao longo da seção (desprezando perdas) — logo a energia na seção de contração é igual a que já calculamos. - Se na seção contraída queremos exatamente escoamento crítico, então a energia nessa seção tem que ser a energia crítica
correspondente à profundidade crítica . Assim impomos - Da condição crítica para canal retangular vale
onde é a vazão por unidade de largura na seção contraída. - Resumindo: primeiro obtenha
a partir de (pois ), depois calcule e por fim
Cálculos numéricos:
- Já tínhamos
Assim - Calcule
:
- Então a largura máxima de contração que ainda permite escoamento crítico é
Interpretação: se a seção for contraída para uma largura menor ou igual a aproximadamente
(considerando o arranjo e hipóteses feitas), o escoamento na seção contraída pode atingir a condição crítica (com a energia disponível
). Se a largura for maior que esse valor, a energia disponível não é suficiente para ser apenas a energia crítica daquela seção e o escoamento não ficará crítico ali.
Resposta
(a) Fluvial (escoamento subcrítico), pois
.\n(b)
\n(c) Se
: forma-se elevação da lâmina a montante (backwater) e tipicamente surge um salto hidráulico a montante; jusante a corrente tende a acelerar (região mais rasa, possibilidade de escoamento supercrítico imediato).\nSe
:
e existem duas possíveis profundidades na seção contraída; normalmente o escoamento permanece subcrítico com um ajuste da superfície (backwater leve), sem formação obrigatória de salto.\n(d)