\mathbf{2}^{\mathbf{n}} Questão) Um escoamento permanente uniforme, com altura de água igual a 1,5 \mathrm{~m}, ocorre em um canal retangular de 3 m de largura com vazão de 8,2 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}. Determine: a) o tipo de escoamento uniforme, fluvial ou torrencial; b) a mínima altura de um degrau que pode ser colocado no fundo do canal, para produzir escoamento crítico; c) o que acontece, a montante e a jusante do degrau, se a altura do degrau for maior que o valor calculado no item anterior? E se for menor?; d) sem a colocação do degrau qual seria a máxima largura de contração na seção pra produzir escoamento crítico.

Passo 1

Dados do enunciado (o que temos) e o que é pedido (as perguntas):
  • Altura de água (profundidade) na seção inicial: \;y_1=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Largura do canal (seção retangular): \;b_1=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Vazão total: \;Q=8{,}2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos): \;g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Perguntas:
a) Determinar se o escoamento uniforme é fluvial (subcrítico) ou torrencial (supercrítico).
b) Determinar a mínima altura do degrau no fundo do canal para produzir escoamento crítico.
c) Indicar o que acontece a montante e a jusante do degrau se a altura do degrau for maior que o valor do item (b) e o que acontece se for menor.
d) Sem colocar o degrau, qual seria a máxima largura de contração (nova largura do canal na seção contraída) para produzir escoamento crítico.

Passo 2

Primeiro passo para (a): calcular velocidade média e o número de Froude para decidir o tipo de escoamento.
Explicação das fórmulas (rápida aula):
  • Área da seção retangular: \;A=b\cdot y. Aqui isso dá a área molhada.
  • Velocidade média: \;V=\dfrac{Q}{A}. Isso vem da conservação da vazão.
  • Número de Froude (indicador de regime): \displaystyle \;Fr=\dfrac{V}{\sqrt{g\,y}}.
    • Interpretando: se \;Fr<1 o escoamento é subcrítico (fluvial); se \;Fr>1 é supercrítico (torrencial); se \;Fr=1 é crítico.
Cálculos:
  • Área: \;A= b_1 y_1 = 3{,}0\cdot 1{,}5 = 4{,}5\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade: \displaystyle V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{8{,}2}{4{,}5}\approx 1{,}8222\\ \mathrm{m/s}.
  • Raiz: \displaystyle \sqrt{g\,y_1}=\sqrt{9{,}81\cdot 1{,}5}=\sqrt{14{,}715}\approx 3{,}836\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Froude: \displaystyle Fr=\dfrac{1{,}8222}{3{,}836}\approx 0{,}475.
Conclusão do passo: como \;Fr\approx 0{,}475<1, o escoamento é subcrítico, isto é, fluvial.

Passo 3

Para o item (b) precisamos do conceito de profundidade crítica e da energia específica.
Aulas/explicações necessárias:
  • Vazão por unidade de largura (no canal retangular): \;q=\dfrac{Q}{b}. Unidade: \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Condição de escoamento crítico (para seção retangular): \;Fr=1. Usando V=q/y (porque V=A^{-1}Q=(Q/b)/y=q/y) obtemos a relação Fr^2=\dfrac{q^2}{g\,y^3}.Assim, para o caso crítico ( Fr=1) tem-se y_c^3=\dfrac{q^2}{g}\quad\Rightarrow\quad y_c=\left(\dfrac{q^2}{g}\right)^{1/3}.Essa é a fórmula prática para a profundidade crítica em canal retangular.
  • Energia específica por unidade de peso (head específico): \displaystyle E=y+\dfrac{q^2}{2g\,y^2}.
    • Interpretação: y é a energia potencial (profundidade) e a segunda parcela é a energia cinética transformada em “cabeça” (velocidade). Se elevarmos o fundo por h, a energia disponível relativa ao novo fundo diminui em h.
Cálculos para y_c:
  • Primeiro q=\dfrac{Q}{b_1}=\dfrac{8{,}2}{3{,}0}=2{,}733333\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Então y_c=\left(\dfrac{q^2}{g}\right)^{1/3} =\left(\dfrac{(2{,}733333)^2}{9{,}81}\right)^{1/3}.Calculemos passo a passo:
    \;q^2\approx 7{,}4722.
    \;q^2/g\approx 7{,}4722/9{,}81\approx 0{,}7619.
    \;y_c\approx 0{,}7619^{1/3}\approx 0{,}9134\\ \mathrm{m}.
Portanto a profundidade crítica associada à mesma vazão e nova largura b_1 é \;y_c\approx 0{,}913\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora achamos a mínima altura do degrau para produzir escoamento crítico usando a energia específica.
Explicação do raciocínio (didático):
  • Inicialmente, em relação ao fundo original, a energia específica na seção inicial é E_1 = y_1 + \dfrac{q^2}{2g\,y_1^2}.
  • Se colocarmos um degrau ascendente de altura h na seção, a energia disponível (relativa ao novo fundo) passa a ser E_1-h.
  • Para que a profundidade no ponto do degrau seja crítica, a energia disponível nesse ponto deve ser igual à energia específica crítica E_c associada a y_c.
  • Para canal retangular em condição crítica vale a relação simples E_c=\dfrac{3}{2}y_c (provém de substituir a condição crítica na expressão de E).
Cálculos numéricos:
  • Primeiro calculemos E_1:
    E_1 = y_1 + \dfrac{q^2}{2g\,y_1^2} =1{,}5 + \dfrac{(2{,}733333)^2}{2\cdot 9{,}81\cdot (1{,}5)^2}.
    \; (2{,}733333)^2\approx 7{,}4722.
    \;2g y_1^2 = 2\cdot 9{,}81\cdot 2{,}25 = 44{,}145.
    \;\dfrac{7{,}4722}{44{,}145}\approx 0{,}1693.
    \;E_1\approx 1{,}5 + 0{,}1693 = 1{,}6693\\ \mathrm{m}.
  • Energia crítica:
    E_c=\dfrac{3}{2}y_c=\dfrac{3}{2}\cdot 0{,}9134\approx 1{,}3701\\ \mathrm{m}.
  • Para que o ponto do degrau seja crítico, precisamos de E_1-h=E_c. Daí
    h_{\min}=E_1-E_c\approx 1{,}6693-1{,}3701=0{,}2992\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a mínima altura do degrau que garante que a energia disponível seja exatamente a energia mínima crítica é \approx 0{,}299\\ \mathrm{m}. Se o degrau for menor que isso, a energia disponível ainda é maior que E_c e a profundidade na seção pode ser subcrítica ou supercrítica dependendo das condições; se for exatamente esse valor teremos escoamento crítico no degrau.

Passo 5

Explicando didaticamente o que ocorre a montante e a jusante do degrau nos dois casos (maior/menor que h_{\min}).
Conceito gráfico e físico curto:
  • A curva da energia específica E(y) para um dado q tem um mínimo em y_c. Para um nível de energia E>E_c existem duas profundidades possíveis: uma subcrítica (maior profundidade) e uma supercrítica (menor profundidade). Para E=E_c há uma única profundidade crítica. Para E<E_c não existe profundidade real que satisfaça a conservação de energia (situação inviável sem outras dissipações).
Casos:
  1. Se a altura do degrau for exatamente \;h=h_{\min}:
  • A energia disponível logo após elevar o fundo fica E_1-h_{\min}=E_c, então a profundidade na seção do degrau fica crítica ( y=y_c).
  • Montante do degrau: o escoamento continua subcrítico (o trecho a montante praticamente com a profundidade original, eventualmente com um pequeno ajuste local).
  • Jusante do degrau: a partir do ponto crítico o escoamento pode passar para supercrítico depois do ponto crítico (região de aceleração), conforme continuidade e energia.
  1. Se a altura do degrau for menor que \;h_{\min} (degrau pequeno):
  • Temos E_1-h>E_c. Então existem duas soluções de profundidade imediatamente após o degrau: um nível subcrítico (profundo) e outro supercrítico (raso).
  • Normalmente, se as condições a jusante permitem (canal longo com livre escoamento), o escoamento tende a permanecer subcrítico e apenas haverá uma pequena mudança de seção e uma adaptação da superfície (perfil de retorno), sem formação obrigatória de salto hidráulico. A informação a jusante controla o que acontece porque sinais de superfície se propagam para montante em escoamento subcrítico.
  • Em termos simples: degrau pequeno → o escoamento continua subcrítico com um ajuste de superfície (backwater leve), não necessariamente crítico nem supercrítico.
  1. Se a altura do degrau for maior que \;h_{\min} (degrau grande):
  • Então E_1-h<E_c. Não existe profundidade real que satisfaça a equação de energia sem dissipar energia adicional; o escoamento não pode atravessar a seção mantendo só energia (não há solução estável sub/supercrítica conservando energia).
  • O comportamento físico típico: a elevação do fundo causa um aumento da lâmina d’água a montante (formação de uma região de contracção com aumento de profundidade — uma “réplica” ou backwater). Para fazer o escoamento passar, normalmente surge um salto hidráulico a montante do degrau, onde a energia é dissipada e a profundidade aumenta até que a nova energia disponível (após dissipação no salto) permita que o escoamento passe pelo degrau com profundidade compatível. Jusante do salto geralmente ficará escoamento subcrítico rico em altura; imediatamente depois do degrau pode aparecer escoamento supercrítico dependendo da geometria.
  • Em resumo: degrau grande → formação de backwater/elevação significativa da lâmina a montante; pode haver salto hidráulico a montante; jusante tende a ficar em escoamento mais rápido (supercrítico) na região do degrau até que algum ajuste ocorra.
Observação intuitiva: quando o degrau é muito grande, a água “não tem energia suficiente” para passar no degrau mantendo a mesma dinâmica; então a superfície sobe a montante e dissipações (salto) acontecem para ajustar.

Passo 6

Item (d): máxima largura de contração sem degrau que produz escoamento crítico.
Raciocínio e fórmulas (passo a passo):
  • Sem degrau, a energia específica E é preservada ao longo da seção (desprezando perdas) — logo a energia na seção de contração é igual a E_1 que já calculamos.
  • Se na seção contraída queremos exatamente escoamento crítico, então a energia nessa seção tem que ser a energia crítica E_c correspondente à profundidade crítica y_{c,contr}. Assim impomos E_1 = E_{c,contr} = \dfrac{3}{2}y_{c,contr}.
  • Da condição crítica para canal retangular vale y_{c,contr}=\left(\dfrac{q_{contr}^2}{g}\right)^{1/3},onde q_{contr}=\dfrac{Q}{b_{contr}} é a vazão por unidade de largura na seção contraída.
  • Resumindo: primeiro obtenha y_{c,contr} a partir de y_{c,contr}=\dfrac{2}{3}E_1 (pois E_1=\tfrac{3}{2}y_c\Rightarrow y_c=\tfrac{2}{3}E_1), depois calcule q_{contr}=\sqrt{g\,y_{c,contr}^3} e por fim b_{contr}=\dfrac{Q}{q_{contr}}.
Cálculos numéricos:
  • Já tínhamos E_1\approx 1{,}6693\\ \mathrm{m}. Assim y_{c,contr}=\dfrac{2}{3}E_1=\dfrac{2}{3}\cdot 1{,}6693\approx 1{,}1129\\ \mathrm{m}.
  • Calcule q_{contr}=\sqrt{g\,y_{c,contr}^3}:
    \;y_{c,contr}^3\approx 1{,}1129^3\approx 1{,}3778.
    \;g\,y_{c,contr}^3\approx 9{,}81\cdot 1{,}3778\approx 13{,}516.
    \;q_{contr}\approx \sqrt{13{,}516}\approx 3{,}676\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Então a largura máxima de contração que ainda permite escoamento crítico é b_{max}=\dfrac{Q}{q_{contr}}=\dfrac{8{,}2}{3{,}676}\approx 2{,}231\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se a seção for contraída para uma largura menor ou igual a aproximadamente \;2{,}23\\ \mathrm{m} (considerando o arranjo e hipóteses feitas), o escoamento na seção contraída pode atingir a condição crítica (com a energia disponível E_1). Se a largura for maior que esse valor, a energia disponível não é suficiente para ser apenas a energia crítica daquela seção e o escoamento não ficará crítico ali.

Resposta

(a) Fluvial (escoamento subcrítico), pois \;Fr\approx 0{,}475<1.\n(b) \;h_{\min}\approx 0{,}299\\ \mathrm{m}.\n(c) Se \;h>h_{\min}: forma-se elevação da lâmina a montante (backwater) e tipicamente surge um salto hidráulico a montante; jusante a corrente tende a acelerar (região mais rasa, possibilidade de escoamento supercrítico imediato).\nSe \;h<h_{\min}: \;E_1-h>E_c e existem duas possíveis profundidades na seção contraída; normalmente o escoamento permanece subcrítico com um ajuste da superfície (backwater leve), sem formação obrigatória de salto.\n(d) \;b_{\max}\approx 2{,}23\\ \mathrm{m}.

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