Um eixo arvore possui d=65 \mathrm{~mm}, l=1,25 \mathrm{~m}, W=35 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} com M T=350 \mathrm{Nm}
Determinar: força tangencial, velocidade periférica, potência e tensão máxima atuante.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas.
Dado:
d=65\\ \mathrm{mm}
l=1,25\\ \mathrm{m}
W=35\pi\\ \mathrm{rad/s}
M_T=350\\ \mathrm{Nm}
Pede-se determinar:
  • força tangencial F_t;
  • velocidade periférica (velocidade na periferia) v;
  • potência P;
  • tensão máxima atuante \tau_{\max}.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para unidades do SI e calcular o raio.
Convertendo o diâmetro para metros:
d = 65\\ \mathrm{mm} = 0,065\\ \mathrm{m}.
O raio da seção circular é metade do diâmetro:
r = \frac{d}{2} = \frac{0,065}{2} = 0,0325\\ \mathrm{m}.
Aqui eu só converto porque todas as fórmulas que vamos usar exigem metros (m), segundos (s) e newtons (N).

Passo 3

Força tangencial F_t
Conceito e fórmula: o torque (momento torsor) é o produto da força tangencial pelo braço (raio). Em símbolos:
M_T = F_t \cdot r.
Dessa igualdade isolamos F_t:
F_t = \frac{M_T}{r}.
Substituindo os valores (usando M_T em \mathrm{N\cdot m} e r em \mathrm{m}):
F_t = \frac{350}{0,0325}.
Fazendo a conta:
F_t \approx 10769,23\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: essa é a força tangencial exercida na periferia do eixo que produz o torque dado. Dá cerca de 10{,}77\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Velocidade periférica v
Conceito e fórmula: a velocidade linear na periferia de um corpo em rotação está ligada à velocidade angular por
v = \omega \cdot r,
onde \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}) e r é o raio (em \mathrm{m}).
Aqui temos \omega = W = 35\pi\\ \mathrm{rad/s} e r=0,0325\\ \mathrm{m}. Portanto:
v = 35\pi \cdot 0,0325.
Fazendo a conta:
v \approx 3,574\\ \mathrm{m/s}.
Ou seja, a periferia do eixo se movimenta a aproximadamente 3{,}57\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Potência P
Conceito e fórmula: a potência associada a um torque girante é o produto do torque pela velocidade angular:
P = M_T \cdot \omega.
Substituindo \omega = 35\pi e M_T=350:
P = 350 \cdot 35\pi = 12250\pi\\ \mathrm{W}.
Valor numérico:
P \approx 38484,51\\ \mathrm{W}\approx 38,48\\ \mathrm{kW}.
Explicação física curta: essa é a potência mecânica transmitida pelo eixo devido ao torque e à rotação.

Passo 6

Tensão máxima atuante \tau_{\max} (tensão de cisalhamento por torção)
Conceito e fórmula: para um eixo circular maciço sujeito a torque puro, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde T é o torque (aqui M_T), c é a distância do centro até a superfície (ou seja r) e J é o momento polar de inércia da seção circular maciça. Para uma seção circular maciça:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c=r=d/2 e J=\pi d^{4}/32 na expressão de \tau_{\max} obtém-se a forma prática:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Agora substituímos os valores (usar d em metros e T em \mathrm{N\cdot m} \tau em Pascal):
\tau_{\max}=\frac{16\cdot 350}{\pi\cdot(0,065)^{3}}.
Cálculo numérico (passo-a-passo):
(0,065)^{3}=0,000274625,
\pi\cdot(0,065)^{3}\approx 0,000862760,
16\cdot 350=5600,
\tau_{\max}\approx \frac{5600}{0,000862760}\approx 6{,}50\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
\tau_{\max}\approx 6{,}50\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: essa é a tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo causada pelo torque dado; o valor está em MPa, que é a unidade usual para tensões.

Passo 7

Cheque rápido de ordem de grandeza e motivação:
  • A força tangencial de cerca de 10{,}8\\ \mathrm{kN} combinada com raio pequeno gera o torque de 350\\ \mathrm{Nm} — faz sentido.
  • A potência de cerca de 38{,}5\\ \mathrm{kW} é compatível com um torque moderado a rotação razoável.
  • A tensão de cisalhamento de cerca de 6{,}5\\ \mathrm{MPa} é relativamente baixa comparada com limites típicos de materiais de eixo (aço), então o eixo está longe de escoar por torção nesse valor — mas verifique sempre o material e fatores de segurança na prática.
Força na mão: você já tem todas as fórmulas principais e as contas. Respira, faz as contas com calma na prova e chega lá — você consegue!

Resposta

F_t \approx 10769,23\\ \mathrm{N}
v \approx 3,574\\ \mathrm{m/s}
P = 12250\pi\\ \mathrm{W}\approx 38484,51\\ \mathrm{W}\\ (\approx 38,48\\ \mathrm{kW})
\tau_{\max} \approx 6{,}50\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 6{,}50\\ \mathrm{MPa})

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