Um garoto de 35 kg vem correndo com v=7 m / s e pula no meio de uma prancha de 3 kg e 1 m de extensão, que está em repouso, sobre uma lâmina de água. O coeficiente de atrito cinético dos pés do garoto com a prancha é muC=1,9; ao passo que da prancha com a água é desprezível. Calcule, supondo deslocamentos unidimensionais, t=0 no instante em que o garoto toca a prancha e origem (x=0), na posição inicial do centro da prancha:
a) Se o garoto permanece na prancha após pular;
b) A velocidade da prancha e do garoto enquanto ele escorrega pela prancha;
c) As velocidades finais do garoto e da prancha.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o problema e ver o que precisamos:
Um garoto de massa corre a e pula no meio de uma prancha de massa e comprimento . A prancha está em repouso sobre água (atrito desprezível), mas entre o pé do garoto e a prancha há atrito cinético .
Conteúdo: conservação de quantidade de movimento e dinâmica com atrito (força ).
O que vamos usar:
  • Equações de Newton para cada corpo (garoto e prancha) enquanto há atrito.
  • Conservação de momento linear no sistema isolado (nenhuma força externa horizontal).
  • Cinemática do movimento relativo (para saber se o garoto escorrega até a borda).

Passo 2

a) Será que ele sai da prancha ou permanece?
  1. Quando o garoto pisa, o atrito máximo constante é
F = muk,m,g
  1. Pela 2ª lei de Newton:
    • Aceleração do garoto (para a direita é positiva): a1 = -Fm = -muk,g
    • Aceleração da prancha (mesma força, sentido oposto, massinha menor): a2 = +FM = +muk,m,gM
  2. Aceleração relativa entre garoto e prancha:
arm rel = a1 - a2 = -muk,g - muk,m,gM = -muk,gl(1+mMr)
  1. Velocidade relativa inicial: drm stop = vrm rel,0^22,|arm rel| = 7^22,muk,g,(1+m/M) .
  2. Distância até a borda (ele está no meio): arm relapprox 1,9cdot9,8cdotl(1+tfrac353r)approx 235,7:m/s^2, drm stopapprox492cdot235,7approx0,10:m .
  3. Distância necessária para parar o deslizamento:
Substituindo , , , :
Como , ele para de escorregar antes de cair da prancha. Logo, permanece sobre ela.

Passo 3

b) Velocidades enquanto ele ainda está escorregando
– Para o garoto:
v1(t)=v0 - muk,g,t
– Para a prancha:
v2(t)=0 + muk,m,gM,t
E a velocidade relativa diminui até zerar.

Passo 4

c) Velocidades finais (quando o escorregamento para)
  1. Tempo que leva para parar o escorregamento:
trm stop = vrm rel,0|arm rel| = 7muk,g,(1+m/M)approx0,0297:s
  1. Substituindo em vf = m,v0 + Mcdot0m+M = 35cdot735+3 = 24538approx6,45:m/s e dá praticamente a mesma velocidade para os dois (faz sentido: depois de “grudar” eles se movem juntos). Ou usando diretamente conservação de momento:

Resposta

a) Ele permanece sobre a prancha, pois escorregaria só e até a borda são .
b) Enquanto escorrega:
,
.
c) Velocidade final comum (depois que para o deslizamento):

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