Um gás de caroço duro - sem interações, mas com volume excluído pode ser descrito pela equação de estado
, onde
é o volume de cada partícula. Para este sistema: Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gás ideal com algumas características especiais: não há interações entre as partículas, mas cada partícula ocupa um certo volume $ b $. A equação de estado desse gás é dada por:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ o volume, $ N $ o número de partículas, $ k_B $ a constante de Boltzmann e $ T $ a temperatura. O exercício quer que a gente mostre que a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante $ C_P $ e a volume constante $ C_V $ é:
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de $ C_P $ e $ C_V $, além de usar a equação de estado fornecida. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são $ C_P $ e $ C_V $:
- $ C_V $ é a capacidade térmica a volume constante. É a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em 1 unidade quando o volume não muda.
- $ C_P $ é a capacidade térmica a pressão constante. É a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em 1 unidade quando a pressão não muda.
A relação entre $ C_P $ e $ C_V $ geralmente depende das propriedades do gás e da sua equação de estado.
Passo 3
Sabemos que a diferença entre $ C_P $ e $ C_V $ pode ser relacionada ao trabalho realizado pelo sistema quando há expansão ou compressão. A fórmula geral que relaciona essas capacidades térmicas é:
Mas vamos usar uma abordagem mais direta para o nosso caso específico.
Passo 4
Vamos começar derivando a equação de estado dada:
Podemos rearranjar para obter $ P $ em função de $ V $ e $ T $:
Agora, vamos derivar $ P $ em relação a $ T $ a volume constante:
Passo 5
Agora, vamos considerar a expressão para $ C_P $ em termos de $ C_V $ e das derivadas que calculamos:
Mas para simplificar, podemos usar a relação direta que envolve a relação entre $ C_P $ e $ C_V $:
Nosso objetivo é chegar a $ \gamma = 1 + \frac{N k_B}{C_V} $.
Passo 6
Vamos utilizar a definição de capacidade térmica a volume constante. Sabemos que:
Para um gás ideal, a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura, e podemos escrever:
Onde $ f $ é o número de graus de liberdade. Diferenciando em relação a $ T $:
Portanto, $ C_V $ é proporcional a $ N k_B $.
Passo 7
Agora, usando a relação entre $ C_P $ e $ C_V $:
Essa relação mostra que a razão entre as capacidades térmicas depende da quantidade de partículas $ N $ e da constante de Boltzmann $ k_B $, além da capacidade térmica a volume constante $ C_V $.
Resposta
Assim, mostramos que: