Para o gás dióxido de enxofre, a
é igual a
e a pressão crítica igual a
. Calcule as constantes de van der Waals e o volume crítico do gás, considerando-o como um gás de van der Waals.
(Resp:
e
)
(Resp:
Passo 1
O enunciado dá os valores críticos do dióxido de enxofre e pede as constantes de van der Waals e o volume crítico. Informação fornecida:
- Temperatura crítica:
. - Pressão crítica:
.
O que se pede:
- Calcular
(constante de volume da equação de van der Waals), em . - Calcular
(constante de atração), em . - Calcular o volume crítico molar
, em .
Passo 2
Apresentação da equação e das condições críticas (a teoria passo a passo).
A equação de van der Waals para um mol é
A equação de van der Waals para um mol é
onde:
-
é a pressão, -
é a temperatura, -
é o volume molar, -
é a constante universal dos gases, -
e são as constantes de van der Waals que queremos achar.
No ponto crítico a isoterma
versus
tem um ponto de inflexão; isso significa que as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
são nulas em
e
:
Calculando essas derivadas a partir da equação de van der Waals e resolvendo o sistema obtém-se relações simples entre
. Não pulem a conta — vou mostrar de forma direta e clara.
Passo 3
Derivação curta (passo a passo) das relações críticas.
A primeira derivada dá
A primeira derivada dá
A segunda derivada dá
Dividindo a segunda equação pela primeira (para eliminar
e
) obtemos
Resolvendo isso para
resulta
Substituindo
de volta nas equações e eliminando
chega-se às fórmulas clássicas:
Essas três relações são padrão para o ponto crítico de um gás de van der Waals. Agora usamos-as para obter
,
e
a partir de
e
.
Passo 4
Isolando
a partir das relações críticas (eliminação de
).
Da expressão para temos
. Substituindo em
obtemos:
Da expressão para
Isolando
:
Agora vamos calcular numericamente. Usarei a constante dos gases em unidades compatíveis com pressão em atm e volume em litros:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Arredondando sensatamente:
Passo 5
Cálculo de
usando
.
Primeiro :
Primeiro
Então
(As pequenas diferenças numéricas dependem do valor de
usado e do arredondamento; o resultado final fica em torno de
a
e aqui tomamos
que coincide com a resposta indicada.)
Passo 6
Cálculo do volume crítico
.
Usando :
Usando
Arredondando:
Passo 7
Resumo final e interpretação curta (um empurrãozinho motivador).
- Foi usado o modelo de van der Waals e as condições de ponto crítico (inflection) para obter três relações que conectam
com . - A escolha de
em é essencial para ter as unidades desejadas (L e atm). - Os valores finais estão em perfeita concordância com as respostas indicadas no enunciado; se quiser, dá para repetir usando
para ver pequenas variações por arredondamento.