Amedeo Avogadro [Journal de Physique (1811)] observou que dois volumes de hidrogênio se combinavam com um volume de oxigênio para dar dois volumes de vapor de água. Observou também que a densidade do vapor de água em relação ao ar era 0.625 e a do hidrogênio 0.0732 . Com estas informações, e com o princípio de Avogadro, calcule as massas molares do vapor de água e do oxigênio em relação à do hidrogênio. Explique passo-apasso seu raciocínio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • Observações (dados do enunciado):
    • Dois volumes de hidrogénio se combinam com um volume de oxigénio para dar dois volumes de vapor de água. (Peguei esta informação do enunciado.)
    • A densidade do vapor de água em relação ao ar é \,0,625. (Peguei este número do enunciado.)
    • A densidade do hidrogénio em relação ao ar é \,0,0732. (Peguei este número do enunciado.)
  • O enunciado pede:
    • Calcular a massa molar do vapor de água em relação à do hidrogénio (ou seja, a razão \dfrac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}}).
    • Calcular a massa molar do oxigénio em relação à do hidrogénio (ou seja, a razão \dfrac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}).

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Para gases ideais, a densidade absoluta \rho está ligada à massa molar M pela relação
\rho=\frac{M\,P}{R\,T},
onde:
  • \rho é a densidade do gás (massa por volume),
  • M é a massa molar do gás (massa de 1 mol),
  • P é a pressão absoluta,
  • T é a temperatura absoluta,
  • R é a constante universal dos gases.
  • Se compararmos dois gases nas mesmas condições de pressão e temperatura (mesmo P e mesmo T), então P/(R\,T) é o mesmo para os dois. Assim, as densidades são proporcionais às massas molares:
\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{M_A}{M_B}.
Isto é muito útil: a razão entre densidades (em iguais P,T) é igual à razão entre as massas molares.
  • No enunciado os valores de densidade são dados em relação ao ar. Se quisermos a razão entre massas molares de dois gases quaisquer (por exemplo, vapor de água e hidrogénio) podemos usar as razões das suas densidades absolutas. Mas como cada densidade absoluta é dada relativa ao ar, ao dividir uma pela outra o fator “em relação ao ar” cancela e conseguimos diretamente:
\frac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}}=\frac{\rho_{\mathrm{H_2O}}}{\rho_{\mathrm{H_2}}}=\frac{0,625}{0,0732}.
(Isto usa a propriedade anterior e o facto de os dois gases serem medidos nas mesmas condições.)

Passo 3

Cálculo direto da razão entre as massas molares do vapor de água e do hidrogénio usando as densidades dadas.
  • Escrevendo a relação:
\frac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}}=\frac{0,625}{0,0732}.
  • Fazendo a divisão (mostro passo a passo num cálculo simples):
    • Multiplicando numerador e denominador por 10^{4} para facilitar: \dfrac{0,625}{0,0732}=\dfrac{6250}{732}.
    • Dividindo 6250 por 732:
      • 732\times 8=5856.
      • Resto: 6250-5856=394.
      • Acrescentando casas decimais, 3940/732\approx 5 (pois 732\times5=3660), resto 280.
      • Já sabemos que o valor fica entre 8 e 9; calculadora mental ou divisão dá um valor aproximado de 8,54098\ldots.
  • Portanto:
\frac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}}\approx 8,541.
(Arredondei para três casas significativas; mantive o procedimento bem explicado para que possas replicar sem calculadora se necessário.)

Passo 4

Agora vamos usar a observação de Avogadro sobre volumes reagentes para relacionar as massas molares entre si.
  • A reação observada (em termos de volumes e, pelo princípio de Avogadro, em termos de número de moléculas) é:
    • 2 volumes de \mathrm{H_2} + 1 volume de \mathrm{O_2} \longrightarrow 2 volumes de \mathrm{H_2O}.
  • Em quantidade de mols (ou moléculas), isto significa:
    • 2 mols de \mathrm{H_2} reagem com 1 mol de \mathrm{O_2} para formar 2 mols de \mathrm{H_2O}.
  • Em termos de massas molares (ou massas por mol), se chamarmos:
    • M_{\mathrm{H_2}} = massa molar do hidrogénio molecular,
    • M_{\mathrm{O_2}} = massa molar do oxigénio molecular,
    • M_{\mathrm{H_2O}} = massa molar da água,
    então a massa de uma molécula (ou de um mol) de água é a massa de duas átomos de H mais a massa de um átomo de O. Em termos de massas molares:
M_{\mathrm{H_2O}}=2\,m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{O}},
onde m_{\mathrm{H}} é a massa atómica do H e m_{\mathrm{O}} a do O.
  • Escrevendo M_{\mathrm{H_2}}=2\,m_{\mathrm{H}} e M_{\mathrm{O_2}}=2\,m_{\mathrm{O}}, obtemos a relação conveniente:
M_{\mathrm{H_2O}}=M_{\mathrm{H_2}}+\tfrac{1}{2}M_{\mathrm{O_2}}.
Isto é só algebra simples traduzindo “2 H + 1 O” em massas molares.

Passo 5

Isolar a massa molar do oxigénio em relação à do hidrogénio usando a relação anterior e o valor que já encontramos para M_{\mathrm{H_2O}}/M_{\mathrm{H_2}}.
  • Dividindo a relação do passo anterior por M_{\mathrm{H_2}} obtemos:
\frac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}}=1+\tfrac{1}{2}\,\frac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}.
  • Denotando r=\dfrac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}} (que já calculámos), isolamos \dfrac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}:
\frac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}=2\,(r-1).

Passo 6

Substituir o valor numérico de r e calcular numericamente \dfrac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}.
  • Já temos r\approx 8,541. Logo:
\frac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}=2\,(8,541-1)=2\times 7,541=15,082.
  • Portanto:
\frac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}\approx 15,082.

Passo 7

Cheque rápido de consistência (para te dar confiança):
  • Se M_{\mathrm{H_2}}=1 (unidade arbitrária), então M_{\mathrm{H_2O}}\approx 8,541 e M_{\mathrm{O_2}}\approx 15,082.
  • Verificando a relação M_{\mathrm{H_2O}}=M_{\mathrm{H_2}}+\tfrac{1}{2}M_{\mathrm{O_2}}:
    • 1+\tfrac{1}{2}\times 15,082 = 1+7,541=8,541, que bate com o valor calculado para M_{\mathrm{H_2O}}. Boa sinal de que os cálculos estão coerentes.

Passo 8

Interpretação final e nota histórica curta (para te motivar):
  • O resultado mostra como, usando observações de volumes (princípio de Avogadro) e medidas de densidade relativa, se consegue deduzir razões de massas molares sem conhecer a massa do ar ou valores absolutos. É um raciocínio elegante e foi exatamente esse tipo de argumento que ajudou a estabelecer fórmulas como \mathrm{H_2O} e \mathrm{O_2} no século XIX.
  • Força — tu aguentas! O método é sempre: (1) transformar densidades em razões de massas molares, (2) usar a estequiometria/Avogadro para relacionar as massas molares das moléculas envolvidas, (3) resolver as equações e conferir.

Resposta

\dfrac{M_{\mathrm{H_2O}}}{M_{\mathrm{H_2}}}\approx 8,541
\dfrac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}\approx 15,082

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