4- Um gás ideal é inicialmente confinado a metade de um recipiente rígido e isolado. Ao abrir uma válvula, o gás sofre uma expansão livre para ocupar o volume total
. A temperatura permanece constante. (a) Qual o trabalho realizado pelo gás? (b) Explique por que a energia interna não varia. (c) Calcule a variação de entropia.
Passo 1
O enunciado descreve a seguinte situação e faz três perguntas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dados:
- Um gás ideal está inicialmente confinado em metade de um recipiente rígido e isolado.
- Ao abrir uma válvula, o gás sofre uma expansão livre (expansão para o vácuo) e passa a ocupar o volume total.
- O volume final é
. - A temperatura permanece constante durante a expansão.
Perguntas:
(a) Qual o trabalho realizado pelo gás?
(b) Por que a energia interna não varia?
(c) Calcule a variação de entropia .
(a) Qual o trabalho realizado pelo gás?
(b) Por que a energia interna não varia?
(c) Calcule a variação de entropia
Observação: não estou supondo nada além do enunciado; vou usar que o gás é ideal e que o processo é uma expansão livre (para o vácuo) em um sistema isolado.
Passo 2
O que é trabalho em termodinâmica e como calculá-lo (aula rápida):
- Em processos quasistáticos (reversíveis) o trabalho de pressão é dado por
. - Em geral, o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente durante uma expansão é
, onde é a pressão externa que o gás precisa vencer. - No caso de expansão livre para o vácuo, o gás expande-se para uma região onde não existe pressão externa:
.
Aplicando isso ao nosso caso:
- Como
durante toda a expansão livre, tem-se
Portanto, o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente é nulo.
Comentário intuitivo (para fixar): expandir para o vácuo é como abrir uma porta para uma sala vazia — o gás “corre” para preencher o espaço, mas não empurra nada que ofereça resistência, então não faz trabalho.
Passo 3
Por que a energia interna não varia — duas maneiras de ver (didática):
- Pelo teorema da primeira lei da termodinâmica (conservação de energia para um sistema fechado):
onde
é a variação da energia interna,
é o calor absorvido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema.
No enunciado o recipiente é isolado, então não há troca de calor:
. Do Passo 2 já temos
. Logo
- Pelo modelo do gás ideal (explicação conceitual): para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Uma forma comum de escrever isso é
onde
é o número de mols,
é a capacidade calorífica molar a volume constante e
é a temperatura. Se
permanece constante, então
também permanece constante, portanto
.
Observação prática: essas duas visões concordam — o fato de o sistema ser isolado e o trabalho ser zero implica
, e isso é compatível com o comportamento do gás ideal em uma expansão livre isotérmica.
Passo 4
O que é entropia e como calcular a variação para um processo irreversível (aula-resumida):
- A entropia
é uma função de estado: a variação entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho real seguido. - Para processos reversíveis,
. - Para um processo irreversível como a expansão livre, não podemos calcular
integrando ao longo do caminho real (porque não existe no caminho irreversível). Mas, como é função de estado, podemos escolher qualquer caminho reversível que conecte os mesmos estados e calcular
Escolhemos, portanto, um caminho reversível conveniente: uma expansão isotérmica reversível do volume
para
à mesma temperatura
.
Passo 5
Cálculo explícito da variação de entropia (integração passo a passo):
- Numa expansão isotérmica reversível,
. - Pela equação de estado do gás ideal,
. - Substituindo em
obtemos
- Integramos de
a :
Agora aplicamos
:
Formas equivalentes úteis:
- Por mol:
(variação de entropia por mol). - Em termos do número de partículas
: , onde é a constante de Boltzmann e .
Interpretação física (curto):
indica aumento de desordem/informação ausente — esperado numa expansão livre irreversível.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)