4- Um gás ideal é inicialmente confinado a metade de um recipiente rígido e isolado. Ao abrir uma válvula, o gás sofre uma expansão livre para ocupar o volume total V_{f}=2 V_{i}. A temperatura permanece constante. (a) Qual o trabalho realizado pelo gás? (b) Explique por que a energia interna não varia. (c) Calcule a variação de entropia.

Passo 1

O enunciado descreve a seguinte situação e faz três perguntas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dados:
  • Um gás ideal está inicialmente confinado em metade de um recipiente rígido e isolado.
  • Ao abrir uma válvula, o gás sofre uma expansão livre (expansão para o vácuo) e passa a ocupar o volume total.
  • O volume final é \displaystyle V_{f}=2\,V_{i}.
  • A temperatura permanece constante durante a expansão.
Perguntas:
(a) Qual o trabalho realizado pelo gás?
(b) Por que a energia interna não varia?
(c) Calcule a variação de entropia \Delta S.
Observação: não estou supondo nada além do enunciado; vou usar que o gás é ideal e que o processo é uma expansão livre (para o vácuo) em um sistema isolado.

Passo 2

O que é trabalho em termodinâmica e como calculá-lo (aula rápida):
  • Em processos quasistáticos (reversíveis) o trabalho de pressão é dado por \displaystyle W=\int P\,dV.
  • Em geral, o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente durante uma expansão é \displaystyle W=\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV, onde P_{\text{ext}} é a pressão externa que o gás precisa vencer.
  • No caso de expansão livre para o vácuo, o gás expande-se para uma região onde não existe pressão externa: \displaystyle P_{\text{ext}}=0.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Como \displaystyle P_{\text{ext}}=0 durante toda a expansão livre, tem-se
W=\int_{V_i}^{V_f} 0\;dV = 0.
Portanto, o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente é nulo.
Comentário intuitivo (para fixar): expandir para o vácuo é como abrir uma porta para uma sala vazia — o gás “corre” para preencher o espaço, mas não empurra nada que ofereça resistência, então não faz trabalho.

Passo 3

Por que a energia interna não varia — duas maneiras de ver (didática):
  1. Pelo teorema da primeira lei da termodinâmica (conservação de energia para um sistema fechado):
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna, Q é o calor absorvido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema.
No enunciado o recipiente é isolado, então não há troca de calor: Q=0. Do Passo 2 já temos W=0. Logo
\Delta U = 0 - 0 = 0.
  1. Pelo modelo do gás ideal (explicação conceitual): para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Uma forma comum de escrever isso é
U = n\,c_V\,T,
onde n é o número de mols, c_V é a capacidade calorífica molar a volume constante e T é a temperatura. Se T permanece constante, então U também permanece constante, portanto \Delta U=0.
Observação prática: essas duas visões concordam — o fato de o sistema ser isolado e o trabalho ser zero implica \Delta U=0, e isso é compatível com o comportamento do gás ideal em uma expansão livre isotérmica.

Passo 4

O que é entropia e como calcular a variação para um processo irreversível (aula-resumida):
  • A entropia S é uma função de estado: a variação \Delta S entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho real seguido.
  • Para processos reversíveis, \displaystyle dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para um processo irreversível como a expansão livre, não podemos calcular \Delta S integrando \delta Q/T ao longo do caminho real (porque não existe \delta Q_{\text{rev}} no caminho irreversível). Mas, como S é função de estado, podemos escolher qualquer caminho reversível que conecte os mesmos estados e calcular
\Delta S = \int_{\text{caminho rev}} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Escolhemos, portanto, um caminho reversível conveniente: uma expansão isotérmica reversível do volume \displaystyle V_i para \displaystyle V_f à mesma temperatura T.

Passo 5

Cálculo explícito da variação de entropia (integração passo a passo):
  • Numa expansão isotérmica reversível, \delta Q_{\text{rev}} = P_{\text{rev}}\,dV.
  • Pela equação de estado do gás ideal, \displaystyle P_{\text{rev}}=\frac{nRT}{V}.
  • Substituindo em \displaystyle dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} obtemos
dS = \frac{P_{\text{rev}}\,dV}{T} = \frac{nR}{V}\,dV.
  • Integramos de V_i a V_f:
\Delta S = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nR}{V}\,dV = nR \int_{V_i}^{V_f} \frac{dV}{V} = nR \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Agora aplicamos V_f = 2V_i:
\Delta S = nR \ln 2.
Formas equivalentes úteis:
  • Por mol: \displaystyle \Delta s = R\ln 2 (variação de entropia por mol).
  • Em termos do número de partículas N: \displaystyle \Delta S = N k \ln 2, onde k é a constante de Boltzmann e N=nN_A.
Interpretação física (curto): \Delta S>0 indica aumento de desordem/informação ausente — esperado numa expansão livre irreversível.

Resposta

(a) \displaystyle W=0
(b) \displaystyle \Delta U=0
(c) \displaystyle \Delta S = nR\ln 2

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