Se \mathbf{A} for um vetor constante, demonstre que
\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r})=\mathbf{A}

Passo 1

O enunciado dá que \mathbf{A} é um vetor constante e pede para demonstrar a igualdade
\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{A}.
Informações relevantes dadas:
\mathbf{A} é um vetor constante (seus componentes não dependem de x,y,z).
\mathbf{r} é o vetor posição (ou vetor de coordenadas) usual no espaço.
A tarefa é provar que o gradiente do escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{r} é exatamente o vetor \mathbf{A}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o que são \mathbf{A} e \mathbf{r} em coordenadas cartesianas para ficar claro e concreto.
Defina
\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z),\qquad \mathbf{r}=(x,y,z),
onde A_x,A_y,A_z são constantes e x,y,z são as coordenadas espaciais. O produto escalar fica então
\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=A_x x + A_y y + A_z z.

Passo 3

Agora lembramos a definição de gradiente. Para uma função escalar f(x,y,z), o gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\displaystyle \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui f será f(x,y,z)=\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=A_x x + A_y y + A_z z.

Passo 4

Calculemos cada componente do gradiente aplicando derivadas parciais ao escalar A_x x + A_y y + A_z z.
Primeira componente (derivada em relação a x):
\frac{\partial}{\partial x}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_x\frac{\partial x}{\partial x}+A_y\frac{\partial y}{\partial x}+A_z\frac{\partial z}{\partial x}.
Como A_x,A_y,A_z são constantes, elas saem da derivada. E sabemos que \frac{\partial x}{\partial x}=1 e \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}=0. Logo
\frac{\partial}{\partial x}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_x.

Passo 5

Segunda componente (derivada em relação a y):
\frac{\partial}{\partial y}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_x\frac{\partial x}{\partial y}+A_y\frac{\partial y}{\partial y}+A_z\frac{\partial z}{\partial y}.
Usando \frac{\partial y}{\partial y}=1 e as outras sendo zero, obtemos
\frac{\partial}{\partial y}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_y.

Passo 6

Terceira componente (derivada em relação a z):
\frac{\partial}{\partial z}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_x\frac{\partial x}{\partial z}+A_y\frac{\partial y}{\partial z}+A_z\frac{\partial z}{\partial z}.
Como \frac{\partial z}{\partial z}=1 e as outras são zero, resulta
\frac{\partial}{\partial z}(A_x x + A_y y + A_z z)=A_z.

Passo 7

Juntando as três componentes pelo formato do gradiente, temos
\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})=\left(A_x,A_y,A_z\right)=\mathbf{A},
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 8

Vou dar uma justificativa alternativa, rápida e útil na prova: em notação indexada, \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=A_j r_j (soma sobre j). Então
(\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}))_i=\frac{\partial}{\partial x_i}(A_j r_j)=A_j\frac{\partial r_j}{\partial x_i}.
Mas \frac{\partial r_j}{\partial x_i}=\delta_{ij} (o delta de Kronecker; é 1 se i=j e 0 caso contrário). Assim
(\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}))_i=A_j\delta_{ij}=A_i,
o que dá \nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{A}. Essa forma é compacta e mostra por que funciona em qualquer número de dimensões.

Passo 9

Intuição final e palavra amiga: \mathbf{A}\cdot\mathbf{r} é só uma combinação linear das coordenadas x,y,z com coeficientes constantes A_x,A_y,A_z. O gradiente pega as taxas de variação em cada direção; como cada coordenada aparece apenas multiplicada por sua componente correspondente de \mathbf{A}, a taxa de variação em x é A_x, em y é A_y, e em z é A_z. Ou seja, o gradiente devolve exatamente o vetor de coeficientes \mathbf{A}. Você mandou bem procurando entender passo a passo — está indo muito bem!

Resposta

\mathbf{A}

Exercícios relacionados