Gás natural, que pode ser considerado metano puro, é transportado empregando-se um compressor. Os dutos de entrada e saída do compressor possuem diâmetro interno de 2 ft . O gás entra no compressor a 86 psia , com velocidade de 51 \mathrm{ft} / \mathrm{s} a temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}. Na saída do compressor, a pressão do gás deve ser 100 psia. Assinale a alternativa que representa a potência consumida no compressor, supondo que: (a) o gás possui comportamento ideal, (b) os perfis de velocidades na entrada e saída do compressor são uniformes, (c) a elevação entre a saída e a entrada do compressor é negligenciável, (d) o escoamento é reversível, (e) o fluido é compressível e (f) a compressão é adiabática. Faça uma reflexão se o efeito da variação da taxa de energia cinética é importante neste processo.
Dado: \gamma=C p / C v=1,3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • Diâmetro interno dos dutos (entrada e saída): d=2\\ \text{ft}=0,6096\\ \text{m}.
    • Pressão de entrada: p_1=86\\ \text{psia}=86\times6894{,}757\\ \mathrm{Pa}.
    • Velocidade de entrada: V_1=51\\ \mathrm{ft/s}=15{,}5448\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura de entrada: T_1=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão de saída exigida: p_2=100\\ \text{psia}=100\times6894{,}757\\ \mathrm{Pa}.
    • Gás: metano puro (aproximado como gás ideal). Massa molar do metano usada: M=16{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
    • Constante adiabática: \gamma=C_p/C_v=1{,}3.
  • Suposições (do enunciado, que adotarei):
    • Escoamento estacionário, reversível e adiabático (compressão isotérmica não; aqui é isentrópica pela reversibilidade e adiabaticidade).
    • Perfis de velocidade uniformes na entrada e saída.
    • Elevação entre saídas desprezível.
    • Fluido compressível e comportamento ideal.
  • O que pedem:
    1. Calcular a potência consumida pelo compressor (ou seja, potência mecânica que o compressor precisa fornecer).
    2. Fazer uma reflexão sobre a importância do efeito da variação da energia cinética (se pode ser desprezada ou não).

Passo 2

Área do duto e conversões iniciais.
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}6096\\ \mathrm{m})^{2}}{4}.
Calcule:
d^{2}=0{,}6096^{2}=0{,}37161216\\ \mathrm{m}^2,
A=\frac{\pi\cdot0{,}37161216}{4}\approx0{,}291996\\ \mathrm{m}^2.
  • Pressões convertidas (1 psi =6894{,}757\\ \mathrm{Pa}):
p_1=86\times6894{,}757\\ \mathrm{Pa}=592\,949{,}102\\ \mathrm{Pa},
p_2=100\times6894{,}757\\ \mathrm{Pa}=689\,475{,}700\\ \mathrm{Pa}.
  • Velocidade de entrada em SI:
V_1=51\\ \mathrm{ft/s}=51\times0{,}3048\\ \mathrm{m/s}=15{,}5448\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Encontrar a densidade na entrada usando a lei dos gases ideais. Explicação curta da fórmula:
  • Lei dos gases ideais (por massa específica): \rho=\dfrac{p}{R\,T}, onde
    • \rho é a massa específica (densidade) em \mathrm{kg/m^3},
    • p é a pressão absoluta em \mathrm{Pa},
    • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K},
    • R é a constante específica do gás em \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Cálculo de R para o metano:
    R=\frac{R_u}{M},
    onde R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e M=16{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}. Logo
    R\approx\frac{8{,}314462618}{0{,}01604}\approx518{,}37\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Densidade na entrada:
    \rho_1=\frac{p_1}{R T_1}=\frac{592\,949{,}102}{518{,}37\cdot298{,}15}\approx3{,}839\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Comentário didático: a densidade aumenta se a pressão aumenta ou a temperatura diminui; usa-se a mesma fórmula na saída.)

Passo 4

Calcular a vazão mássica \dot{m} a partir da continuidade e dos dados na entrada.
  • Fórmula da vazão mássica:
\dot{m}=\rho_1 A V_1.
  • Substituindo:
\dot{m}=3{,}839\cdot0{,}291996\cdot15{,}5448\approx17{,}43\\ \mathrm{kg/s}.
(Explicação: em regime estacionário, a massa que entra por segundo é a mesma que sai por segundo.)

Passo 5

Relação isentrópica entre temperatura e pressão (porque o processo é reversível e adiabático).
  • Para um gás ideal em compressão isentrópica vale:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Calcule a razão de pressões:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{689\,475{,}700}{592\,949{,}102}\approx1{,}16223.
  • Exponente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}3-1}{1{,}3}=\frac{0{,}3}{1{,}3}\approx0{,}230769.
  • Temperatura de saída:
T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}=298{,}15\times(1{,}16223)^{0{,}230769}\approx308{,}54\\ \mathrm{K}.
(Explicação: em compressão isentrópica o aumento de pressão leva a aumento de temperatura segundo essa potência.)

Passo 6

Calcular C_p (calor específico a pressão constante) para usar \Delta h = C_p (T_2-T_1).
  • Para gás ideal:
C_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}.
  • Substituindo:
C_p=\frac{1{,}3\cdot518{,}37}{0{,}3}\approx2246{,}4\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Variação de entalpia específica:
\Delta h = h_2-h_1=C_p(T_2-T_1)=2246{,}4\cdot(308{,}54-298{,}15)\approx23\,326\\ \mathrm{J/kg}.
(Observação: para gás ideal a variação de entalpia depende só da variação de temperatura.)

Passo 7

Calcular a densidade e velocidade na saída usando a lei dos gases e continuidade.
  • Densidade na saída:
\rho_2=\frac{p_2}{R T_2}=\frac{689\,475{,}700}{518{,}37\cdot308{,}54}\approx4{,}309\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Velocidade na saída (continuidade: \dot{m}=\rho_2 A V_2\Rightarrow V_2=\dot{m}/(\rho_2 A)):
V_2=\frac{17{,}43}{4{,}309\cdot0{,}291996}\approx13{,}84\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação prática: como o gás ficou mais denso na saída, para manter a mesma vazão mássica a velocidade diminui.)

Passo 8

Calcular a variação de energia cinética por unidade de massa e discutir sua ordem de grandeza.
  • Variação de energia cinética específica:
\Delta e_{c}=\frac{V_2^{2}-V_1^{2}}{2}=\frac{13{,}84^{2}-15{,}5448^{2}}{2}\approx-25{,}05\\ \mathrm{J/kg}.
  • Observação numérica: |\Delta e_c| é muito pequeno comparado a \Delta h (que é \approx23{,}326\\ \mathrm{J/kg}). Fração:
\frac{|\Delta e_c|}{\Delta h}\approx\frac{25{,}05}{23\,326}\approx0{,}00107\\ (0{,}107\%).
(Isto já indica que o efeito da variação da energia cinética é desprezível frente ao aumento de entalpia para a potência.)

Passo 9

Energia por unidade de massa a ser fornecida pelo compressor e potência total.
  • Para escoamento estacionário e adiabático, equação de energia diz (desprezando potencial):
\dot{W}_{\text{shaft}}=\dot{m}\Big[(h_2-h_1)+\frac{V_2^{2}-V_1^{2}}{2}\Big].
  • Substituindo números:
\dot{W} = 17{,}43\cdot\big(23\,326 + (-25{,}05)\big)\\ \mathrm{W}
\dot{W}\approx17{,}43\cdot23\,301\approx4{,}06\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
  • Em unidades usuais:
\dot{W}\approx4,06\times10^{5}\\ \mathrm{W}\approx406\\ \mathrm{kW}\approx545\\ \mathrm{hp}.
(Comentário de sinal: esse valor é a potência que o compressor consome — isto é, potência de entrada do eixo que deve ser fornecida ao compressor.)

Passo 10

Reflexão final sobre a importância da variação da energia cinética.
  • A variação específica de energia cinética foi \Delta e_c\approx-25{,}05\\ \mathrm{J/kg}, muito menor que \Delta h\approx23{,}326\\ \mathrm{J/kg}. Em termos percentuais a contribuição é cerca de 0{,}11\%.
  • Conclusão prática: a variação da energia cinética é desprezível neste processo e pode ser ignorada sem erro significativo ao calcular a potência do compressor.

Resposta

\dot{W}\approx4{,}06\times10^{5}\\ \mathrm{W}\\ (\approx406\\ \mathrm{kW}\approx545\\ \mathrm{hp})
Efeito da variação da energia cinética: desprezível (aproximadamente 0{,}11\% do trabalho).

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