1- Um gás real sofre uma compressão isotérmica de
para
a
. Suponha que o comportamento real seja aproximado por:
Calcule o trabalho realizado sobre o gás: Dados:
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o trabalho realizado sobre o gás quando ele é comprimido isotermicamente de
para
à temperatura
, sabendo que a pressão do gás é aproximada por
Dados fornecidos (vou escrevê-los todos para não escapar nada):
Observação necessária (assunção padrão): a expressão de
está em termos de volume molar, então vou calcular o trabalho por mol (isto é, suponho
). Também vou converter volumes para metros cúbicos:
Passo 2
Entendendo o que é “trabalho realizado sobre o gás” e como calcular: em um processo quasiestático reversível a pressão do gás é dada por
. O trabalho realizado pelo gás ao mudar de volume de
para
é
Como o enunciado quer o trabalho realizado sobre o gás, que chamarei de
, vale
Uma forma alternativa (equivalentemente prática) é trocar os limites do integral:
o que costuma ser mais direto quando
(compressão) porque dá resultado positivo. Nota rápida: aqui estamos assumindo um processo lento/ quasiestático para poder usar
interna na integral.
Passo 3
Escrever o integral usando a expressão dada de
:
Agora vamos integrar termo a termo. Precisamos saber as primitivas:
- Para
a primitiva é , porque . - Para
podemos reescrever como . A primitiva de é , então a primitiva de é (cheque: ).
Portanto a primitiva total é
Passo 4
Avaliar o integral definido entre
e
:
Usando propriedade dos logaritmos,
. Então uma forma compacta é
Essa expressão tem sentido físico: o primeiro termo é o trabalho ideal isotérmico por mol (
) e o segundo corrige pelo comportamento não-ideal dado pelo parâmetro
.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente passo a passo.
- Calcular
:
- Calcular o logaritmo:
- Produto do primeiro termo:
(arredondei na última casa, mantemos três algarismos significativos:
).
- Calcular as inversas dos volumes:
Então
- Produto com
:
(veja que
, e as unidades de mol cancelam deixando
).
- Somar os termos para obter o trabalho sobre o gás:
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos),
Passo 6
Interpretação curta e ânimo: o resultado é positivo porque o gás foi comprimido — energia teve de ser feita sobre ele. O termo negativo vindo de
diminui o trabalho necessário em relação ao gás ideal (a correção aqui foi
), então o comportamento não-ideal altera bastante o valor. Você consegue! Se a prova pedir por mol, use esse valor; se pedir para
mols multiplique por
.