1- Um gás real sofre uma compressão isotérmica de V_{1}=4 \mathrm{~L} para V_{2}=1 \mathrm{~L} a T=350 \mathrm{~K}. Suponha que o comportamento real seja aproximado por:
P(V) \approx \frac{R T}{V}-\frac{a}{V^{2}} .
Calcule o trabalho realizado sobre o gás: Dados: a=1,2 \mathrm{~Pa} \times \mathrm{m}^{6} / \mathrm{mol}^{2}, R=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \times \mathrm{K}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o trabalho realizado sobre o gás quando ele é comprimido isotermicamente de \,V_{1}=4\\ \mathrm{L}\, para \,V_{2}=1\\ \mathrm{L}\, à temperatura \,T=350\\ \mathrm{K}\,, sabendo que a pressão do gás é aproximada por
P(V)\approx\frac{R\,T}{V}-\frac{a}{V^{2}}.
Dados fornecidos (vou escrevê-los todos para não escapar nada):
a=1,2\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{6}\!/\mathrm{mol}^{2},\qquad R=8,31\\ \mathrm{J}\!/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K},
V_{1}=4\\ \mathrm{L},\qquad V_{2}=1\\ \mathrm{L},\qquad T=350\\ \mathrm{K}.
Observação necessária (assunção padrão): a expressão de P(V) está em termos de volume molar, então vou calcular o trabalho por mol (isto é, suponho n=1\\ \mathrm{mol}). Também vou converter volumes para metros cúbicos:
V_{1}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3},\qquad V_{2}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 2

Entendendo o que é “trabalho realizado sobre o gás” e como calcular: em um processo quasiestático reversível a pressão do gás é dada por P(V). O trabalho realizado pelo gás ao mudar de volume de \,V_{1} para \,V_{2}\, é
W_{\text{pelo gás}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P(V)\,dV.á
Como o enunciado quer o trabalho realizado sobre o gás, que chamarei de W_{\text{sobre}}, vale
W_{\text{sobre}}=-W_{\text{pelo gás}}=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} P(V)\,dV.á
Uma forma alternativa (equivalentemente prática) é trocar os limites do integral:
W_{\text{sobre}}=\int_{V_{2}}^{V_{1}} P(V)\,dV,
o que costuma ser mais direto quando V_{2}<V_{1} (compressão) porque dá resultado positivo. Nota rápida: aqui estamos assumindo um processo lento/ quasiestático para poder usar P(V) interna na integral.

Passo 3

Escrever o integral usando a expressão dada de P(V):
W_{\text{sobre}}=\int_{V_{2}}^{V_{1}}\left(\frac{R\,T}{V}-\frac{a}{V^{2}}\right)\,dV.
Agora vamos integrar termo a termo. Precisamos saber as primitivas:
  • Para \displaystyle \frac{R\,T}{V} a primitiva é \displaystyle R\,T\ln V, porque \dfrac{d}{dV}(\ln V)=\dfrac{1}{V}.
  • Para \displaystyle -\frac{a}{V^{2}} podemos reescrever como -aV^{-2}. A primitiva de V^{-2} é -V^{-1}, então a primitiva de -aV^{-2} é +aV^{-1} (cheque: \dfrac{d}{dV}(aV^{-1})=-aV^{-2}).
Portanto a primitiva total é
\int\left(\frac{R\,T}{V}-\frac{a}{V^{2}}\right)dV = R\,T\ln V + \frac{a}{V} + C.

Passo 4

Avaliar o integral definido entre \,V_{2} e \,V_{1}:
W_{\text{sobre}}=\left[R\,T\ln V + \frac{a}{V}\right]_{V_{2}}^{V_{1}} =R\,T\bigl(\ln V_{1}-\ln V_{2}\bigr)+a\Bigl(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\Bigr).
Usando propriedade dos logaritmos, \ln V_{1}-\ln V_{2}=\ln\!\bigl(\tfrac{V_{1}}{V_{2}}\bigr). Então uma forma compacta é
W_{\text{sobre}}=R\,T\ln\!\biggl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\biggr)+a\Bigl(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\Bigr).
Essa expressão tem sentido físico: o primeiro termo é o trabalho ideal isotérmico por mol ( R\,T\ln(V_{1}/V_{2})) e o segundo corrige pelo comportamento não-ideal dado pelo parâmetro a.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente passo a passo.
  1. Calcular R\,T:
R\,T=8{,}31\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}\times 350\\ \mathrm{K}=2908{,}5\\ \mathrm{J/mol}.
  1. Calcular o logaritmo:
\ln\!\biggl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\biggr)=\ln\!\biggl(\frac{4{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}\biggr)=\ln(4)=1{,}386294361\ldots\approx 1{,}3863.
  1. Produto do primeiro termo:
R\,T\ln\!\biggl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\biggr)\approx 2908{,}5\times 1{,}3863 \approx 4{,}032{,}1\\ \mathrm{J/mol}.
(arredondei na última casa, mantemos três algarismos significativos: 4{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}).
  1. Calcular as inversas dos volumes:
\frac{1}{V_{1}}=\frac{1}{4{,}0\times10^{-3}}=250\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}, \qquad \frac{1}{V_{2}}=\frac{1}{1{,}0\times10^{-3}}=1000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}.
Então
\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}=250-1000=-750\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}.
  1. Produto com a:
a\Bigl(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\Bigr)=1{,}2\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}\times(-750\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3})=-900\\ \mathrm{J/mol}.
(veja que \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}=\mathrm{J}, e as unidades de mol cancelam deixando \mathrm{J/mol}).
  1. Somar os termos para obter o trabalho sobre o gás:
W_{\text{sobre}}\approx 4032{,}1\\ \mathrm{J/mol} + (-900\\ \mathrm{J/mol}) \approx 3132{,}1\\ \mathrm{J/mol}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos),
W_{\text{sobre}}\approx 3{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 6

Interpretação curta e ânimo: o resultado é positivo porque o gás foi comprimido — energia teve de ser feita sobre ele. O termo negativo vindo de a diminui o trabalho necessário em relação ao gás ideal (a correção aqui foi -900\\ \mathrm{J/mol}), então o comportamento não-ideal altera bastante o valor. Você consegue! Se a prova pedir por mol, use esse valor; se pedir para n mols multiplique por n.

Resposta

W_{\text{sobre}}\approx 3{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}

Exercícios relacionados