1. He gasoso está estocado em um reservatório esférico de S i O2, o qual tem um diâmetro de 20 cm e espessura de parede de 2 mm . Sabendo que as concentrações interna e externa de He são dadas por Ca =CA, S 1 e CA=CA, S 2, respectivamente, determine o perfil de concentração na direção radial do He, em condições de regime estacionário e sem geração de massa.

Passo 1

O problema é de difusão estacionária de He através de uma parede esférica de Si O2 de diâmetro externo 20 cm e espessura 2 mm. Logo os raios são
R2 = 10 cm, R1 = 10 cm - 0,2 cm = 9,8 cm
Na superfície interna ( r=R1) a concentração é CA(R1)=CA,S1 e na externa ( r=R2) é CA(R2)=CA,S2. Queremos CA(r) em regime estacionário sem geração de massa. O conteúdo-chave é a equação de Laplace radial em coordenadas esféricas aplicada à concentração.

Passo 2

Em regime estacionário sem geração, a equação de balanço é
1r^2ddr!l(r^2dCAdrr)=0
Isso equivale a nabla^2CA=0 com dependência apenas de r.

Passo 3

Integramos uma vez: existe constante C1 tal que
r^2dCAdr=C1 Longrightarrow dCAdr=C1r^2
Integramos de novo definindo constante C2:
CA(r)=-C1r+C2

Passo 4

Para achar C1 e C2 usamos as condições de contorno
CA(R1)=CA,S1, CA(R2)=CA,S2
É mais prático reescrever
CA(r)=CA,S1+C1l(tfrac1r-tfrac1R1r),
pois em r=R1 isso já dá CA,S1. Para r=R2 impomos
CA,S1+C1l(tfrac1R2-tfrac1R1r)=CA,S2 ;Longrightarrow; C1=CA,S2-CA,S1tfrac1R2-tfrac1R1

Passo 5

Substituindo C1 de volta, o perfil de concentração é
boxed CA(r) = CA,S1 + CA,S2-CA,S1 1R2-1R1 l(1r-1R1r) ,
onde R1=9,8 cm e R2=10 cm.

Resposta

CA(r) = CA,S1 + CA,S2-CA,S1 1R2-1R1 l(1r-1R1r)

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