Numa gaveta há 10 pares distintos de meias, mas ambos os pés de um dos pares estão rasgados. Tirando da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, qual a probabilidade de saírem dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, fazendo duas retiradas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números diretamente do enunciado).
  • 10 pares distintos de meias na gaveta, logo há 20 pés de meia no total.
  • Ambos os pés de um desses pares estão rasgados. Portanto há 2 meias rasgadas (formando um par rasgado) e 18 meias não rasgadas.
  • Pede-se: ao retirar da gaveta, uma meia por vez, duas retiradas (sem recolocação), qual a probabilidade de saírem duas meias do mesmo par e que esse par seja não rasgado?

Passo 2

Vou explicar duas formas naturais de raciocinar (ambas dão o mesmo resultado). Primeiro dou uma aula curta sobre contagem e depois sobre probabilidade condicional.
Breve aula 1 — contagem de pares possíveis:
  • Quando escolhemos 2 meias entre 20 sem ordem, o número total de resultados possíveis (conjuntos de duas meias) é
\binom{20}{2},
que se lê “20 escolhe 2” e é calculado por
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot19}{2}=190.
Isso conta combinações sem considerar a ordem das retiradas.
Breve aula 2 — probabilidade condicional (regra do produto):
  • Se um evento é composto de duas etapas sequenciais, a probabilidade de ocorrerem ambas as etapas é a probabilidade da primeira multiplicada pela probabilidade da segunda dado que a primeira já ocorreu:
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B\mid A).
Vou usar essa ideia na segunda abordagem.

Passo 3

Abordagem por contagem (combinatória), passo a passo:
  • Favoráveis: queremos exatamente o par inteiro de uma das meias não rasgadas. Existem 9 pares não rasgados (porque 10-1=9).
  • Cada um desses 9 pares corresponde a exatamente uma escolha de duas meias que atende ao pedido (os dois pés desse par).
  • Logo o número de escolhas favoráveis é 9.
  • A probabilidade é então
P=\frac{\text{nº favoráveis}}{\text{nº totais}}=\frac{9}{\binom{20}{2}}=\frac{9}{190}.ºáº
Expliquei: \binom{20}{2}=190 vem do cálculo anterior; há exatamente 9 pares bons que podem sair.

Passo 4

Abordagem por probabilidade condicional (verificação alternativa), passo a passo:
  • Primeiro sorteio: a probabilidade de tirar uma meia não rasgada é
\frac{18}{20}=\frac{9}{10},
pois há 18 meias boas entre 20 totais.
  • Se a primeira meia pertence a um par não rasgado, entre as 19 meias restantes há exatamente 1 que é o par da primeira (a outra meia daquele mesmo par). A probabilidade de tirar essa parceira no segundo sorteio, condicionado ao primeiro ter sido não rasgado e pertencente a algum par, é
\frac{1}{19}.
  • Pela regra do produto,
P=\frac{18}{20}\cdot\frac{1}{19}=\frac{18}{380}=\frac{9}{190},
o mesmo resultado da contagem. (Se a primeira meia fosse de um par rasgado, a probabilidade de obter duas meias não rasgadas do mesmo par seria zero; essa situação já está corretamente excluída pela conta acima.)

Passo 5

Checagem intuitiva e valor numérico:
  • O resultado \dfrac{9}{190} é um número pequeno; em decimal é aproximadamente
\frac{9}{190}\approx0{,}04737\\ (\text{ou }4{,}737\%).
  • Resumo da intuição: dentre as 190 possíveis duplas de meias, só 9 são exatamente os pares íntegros que queremos — por isso a probabilidade é baixa.

Resposta

\dfrac{9}{190}

Exercícios relacionados