Numa gaveta há 10 pares distintos de meias, mas ambos os pés de um dos pares estão rasgados. Tirando da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, qual a probabilidade de saírem dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, fazendo duas retiradas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números diretamente do enunciado).
- Há
pares distintos de meias na gaveta, logo há pés de meia no total. - Ambos os pés de um desses pares estão rasgados. Portanto há
meias rasgadas (formando um par rasgado) e meias não rasgadas. - Pede-se: ao retirar da gaveta, uma meia por vez, duas retiradas (sem recolocação), qual a probabilidade de saírem duas meias do mesmo par e que esse par seja não rasgado?
Passo 2
Vou explicar duas formas naturais de raciocinar (ambas dão o mesmo resultado). Primeiro dou uma aula curta sobre contagem e depois sobre probabilidade condicional.
Breve aula 1 — contagem de pares possíveis:
- Quando escolhemos
meias entre sem ordem, o número total de resultados possíveis (conjuntos de duas meias) é
que se lê “20 escolhe 2” e é calculado por
Isso conta combinações sem considerar a ordem das retiradas.
Breve aula 2 — probabilidade condicional (regra do produto):
- Se um evento é composto de duas etapas sequenciais, a probabilidade de ocorrerem ambas as etapas é a probabilidade da primeira multiplicada pela probabilidade da segunda dado que a primeira já ocorreu:
Vou usar essa ideia na segunda abordagem.
Passo 3
Abordagem por contagem (combinatória), passo a passo:
- Favoráveis: queremos exatamente o par inteiro de uma das meias não rasgadas. Existem
pares não rasgados (porque ). - Cada um desses
pares corresponde a exatamente uma escolha de duas meias que atende ao pedido (os dois pés desse par). - Logo o número de escolhas favoráveis é
. - A probabilidade é então
Expliquei:
vem do cálculo anterior; há exatamente
pares bons que podem sair.
Passo 4
Abordagem por probabilidade condicional (verificação alternativa), passo a passo:
- Primeiro sorteio: a probabilidade de tirar uma meia não rasgada é
pois há
meias boas entre
totais.
- Se a primeira meia pertence a um par não rasgado, entre as
meias restantes há exatamente que é o par da primeira (a outra meia daquele mesmo par). A probabilidade de tirar essa parceira no segundo sorteio, condicionado ao primeiro ter sido não rasgado e pertencente a algum par, é
- Pela regra do produto,
o mesmo resultado da contagem. (Se a primeira meia fosse de um par rasgado, a probabilidade de obter duas meias não rasgadas do mesmo par seria zero; essa situação já está corretamente excluída pela conta acima.)
Passo 5
Checagem intuitiva e valor numérico:
- O resultado
é um número pequeno; em decimal é aproximadamente
- Resumo da intuição: dentre as
possíveis duplas de meias, só são exatamente os pares íntegros que queremos — por isso a probabilidade é baixa.