Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou carro brasileiros, qual é o número de inscrições diferentes que ela pode fazer, para uma corrida da qual irá participar com 3 carros?

Passo 1

O enunciado nos fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
  • Existem 4 pilotos, todos de nacionalidades diferentes, sendo exatamente 1 piloto brasileiro.
  • Existem 4 carros, de cores diferentes, sendo exatamente 1 carro fabricado no Brasil.
  • Para uma corrida, a equipe vai inscrever 3 carros (logo haverá 3 pilotos dirigindo esses 3 carros, um piloto por carro, sem repetição de piloto).
  • Há a restrição: obrigatoriamente deve haver, entre as três inscrições (cada inscrição = um piloto num carro), pelo menos um piloto brasileiro ou pelo menos um carro brasileiro (ou ambos).
  • Pergunta: quantas inscrições diferentes a equipe pode fazer obedecendo essa restrição?

Passo 2

Estratégia escolhida (resumida antes de aplicar): é mais simples contar primeiro todas as inscrições possíveis sem restrição e depois subtrair as inscrições proibidas — isto é, aquelas em que não aparece nem piloto brasileiro nem carro brasileiro. Essa é a técnica do complemento (contar o total e tirar o que é proibido). Vou usar contagem combinatória básica: combinações para escolher quais carros/pilotos entram e permutações para atribuir pilotos aos carros.
Explicação rápida dos conceitos que vou usar:
  • \binom{n}{k} (combinação) é o número de maneiras de escolher k objetos entre n sem considerar ordem. Fórmula: \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • P(n,k) (arranjo ou permutação simples) é o número de maneiras de escolher e ordenar k objetos distintos a partir de n. Fórmula: \displaystyle P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}. Um modo prático: P(n,k)=n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1).
    No nosso problema, depois de escolher 3 carros é preciso atribuir 3 pilotos distintos a esses 3 carros — isso é um arranjo (ou escolha de 3 pilotos seguida de permutação).

Passo 3

Contagem do total sem restrição:
  • Número de maneiras de escolher quais 3 carros entre os 4: \displaystyle \binom{4}{3}.
  • Número de maneiras de escolher e atribuir 3 pilotos distintos entre os 4 disponíveis aos 3 carros: isso é P(4,3).
Calculemos:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!\,1!}=4.
P(4,3)=4\cdot3\cdot2=\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{24}{1}=24.
Multiplicando escolhas independentes:
\text{Total sem restrição} = \binom{4}{3}\cdot P(4,3)=4\cdot24=96.çã
Explicação concreta: há 4 escolhas de conjunto de carros; para cada conjunto de carros, existem 24 maneiras diferentes de escolher quem pilota qual carro — logo 96 inscrições distintas ao todo se não houvesse a condição sobre brasileiros.

Passo 4

Contagem das inscrições proibidas (complemento): são aquelas em que NÃO aparece nem piloto brasileiro nem carro brasileiro entre os 3 inscritos. Para isso:
  • O carro brasileiro não pode estar entre os 3 escolhidos, logo os 3 carros escolhidos devem ser exatamente os 3 carros não-brasileiros. Há \displaystyle \binom{3}{3}=1 maneira (ou seja, a escolha forçada).
  • O piloto brasileiro não pode estar entre os 3 pilotos escolhidos, logo os 3 pilotos escolhidos devem ser exatamente os 3 não-brasileiros. Há \displaystyle \binom{3}{3}=1 maneira.
  • Para atribuir esses 3 pilotos não-brasileiros aos 3 carros não-brasileiros há 3! maneiras (ou seja P(3,3)=6).
Portanto:
\text{Proibidas} = 1\cdot 1\cdot 3! = 6.

Passo 5

Aplicando o complemento: subtrai-se as proibidas do total para obter as válidas:
\text{Válidas} = \text{Total sem restrição} - \text{Proibidas} = 96 - 6 = 90.áçã
Breve verificação mental: faz sentido que a maioria das 96 possibilidades seja válida, porque só há poucas situações (apenas 6) em que se exclui simultaneamente o piloto brasileiro e o carro brasileiro. Então 90 é plausível.

Resposta

90

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