Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou carro brasileiros, qual é o número de inscrições diferentes que ela pode fazer, para uma corrida da qual irá participar com 3 carros?
Passo 1
O enunciado nos fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
- Existem
pilotos, todos de nacionalidades diferentes, sendo exatamente piloto brasileiro. - Existem
carros, de cores diferentes, sendo exatamente carro fabricado no Brasil. - Para uma corrida, a equipe vai inscrever
carros (logo haverá pilotos dirigindo esses carros, um piloto por carro, sem repetição de piloto). - Há a restrição: obrigatoriamente deve haver, entre as três inscrições (cada inscrição = um piloto num carro), pelo menos um piloto brasileiro ou pelo menos um carro brasileiro (ou ambos).
- Pergunta: quantas inscrições diferentes a equipe pode fazer obedecendo essa restrição?
Passo 2
Estratégia escolhida (resumida antes de aplicar): é mais simples contar primeiro todas as inscrições possíveis sem restrição e depois subtrair as inscrições proibidas — isto é, aquelas em que não aparece nem piloto brasileiro nem carro brasileiro. Essa é a técnica do complemento (contar o total e tirar o que é proibido). Vou usar contagem combinatória básica: combinações para escolher quais carros/pilotos entram e permutações para atribuir pilotos aos carros.
Explicação rápida dos conceitos que vou usar:
-
(combinação) é o número de maneiras de escolher objetos entre sem considerar ordem. Fórmula: . -
(arranjo ou permutação simples) é o número de maneiras de escolher e ordenar objetos distintos a partir de . Fórmula: . Um modo prático: .
No nosso problema, depois de escolhercarros é preciso atribuir pilotos distintos a esses carros — isso é um arranjo (ou escolha de pilotos seguida de permutação).
Passo 3
Contagem do total sem restrição:
- Número de maneiras de escolher quais
carros entre os : . - Número de maneiras de escolher e atribuir
pilotos distintos entre os disponíveis aos carros: isso é .
Calculemos:
Multiplicando escolhas independentes:
Explicação concreta: há
escolhas de conjunto de carros; para cada conjunto de carros, existem
maneiras diferentes de escolher quem pilota qual carro — logo
inscrições distintas ao todo se não houvesse a condição sobre brasileiros.
Passo 4
Contagem das inscrições proibidas (complemento): são aquelas em que NÃO aparece nem piloto brasileiro nem carro brasileiro entre os
inscritos. Para isso:
- O carro brasileiro não pode estar entre os
escolhidos, logo os carros escolhidos devem ser exatamente os carros não-brasileiros. Há maneira (ou seja, a escolha forçada). - O piloto brasileiro não pode estar entre os
pilotos escolhidos, logo os pilotos escolhidos devem ser exatamente os não-brasileiros. Há maneira. - Para atribuir esses
pilotos não-brasileiros aos carros não-brasileiros há maneiras (ou seja ).
Portanto:
Passo 5
Aplicando o complemento: subtrai-se as proibidas do total para obter as válidas:
Breve verificação mental: faz sentido que a maioria das
possibilidades seja válida, porque só há poucas situações (apenas
) em que se exclui simultaneamente o piloto brasileiro e o carro brasileiro. Então
é plausível.