Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica equilibrada.
Conhecemos:
ঃ O tipo de ligação do gerador ( \Delta ) e da carga ( \Delta );
: A tensão de linha do gerador ( 220 V ), a frequência ( 60 Hz ), e a sequência de fase (direta);
  • A impedância de cada um dos ramos da carga (3+\mathrm{j} 4) \Omega;
    :A resistência (0,2 \Omega) e a reatância indutiva (0,15 \Omega) de cada fio da linha (despreze as indutâncias mútuas);
    Pede-se:
  • As tensões de fase e de linha no gerador;
  • As correntes de linha;
  • As correntes de fase na carga;
  • As tensões de fase e de linha na carga;
  • Diagrama de fasores.

Passo 1

Resumindo o problema: temos um gerador trifásico em ligação \Delta com tensão de linha \displaystyle V_{LL,G}=220,V, frequência 60,Hz e sequência direta, alimentando por meio de uma linha de impedância por fase \displaystyle Z_{L}=0{,}2 + j0{,}15, \Omega uma carga equilibrada também em \Delta com impedância de cada ramo \displaystyle Z_{\Delta} = 3 + j4, \Omega. Queremos:
  1. Tensões de fase e de linha no gerador.
  2. Correntes de linha.
  3. Correntes de fase na carga.
  4. Tensões de fase e de linha na carga.
  5. Diagrama de fasores.
Para resolver de forma simples vamos transformar as duas ligações \Delta em \mathrm{Y}, calcular o circuito equivalente por fase e depois converter de volta para obter correntes e tensões na carga em \Delta.

Passo 2

Transformações \Delta\to Y:
  1. Fonte \Delta\to Y: cada tensão de fase (fonte em Y) vale
V_{ph,G} = \frac{V_{LL,G}}{\sqrt3}\,\angle(-30^\circ) = \frac{220}{\sqrt3}\,\angle(-30^\circ) \approx 127{,}02\\ \angle(-30^\circ)\,\text{V}.
  1. Carga \Delta\to Y: cada impedância de fase vale
Z_{ph,C} = \frac{Z_{\Delta}}{3} = \frac{3 + j4}{3} = 1 + j\frac{4}{3} = 1 + j1{,}333\\ \Omega
com módulo \approx1{,}667, \Omega e ângulo \approx53{,}13^\circ.

Passo 3

Circuito por fase em Y: fonte \;V_{ph,G},—,linha \;Z_L=0{,}2 + j0{,}15,—,carga \;Z_{ph,C}=1 + j1{,}333. Impedância total por fase:
Z_{tot} = Z_L + Z_{ph,C} = (0{,}2 + 1) + j(0{,}15 + 1{,}333) = 1{,}2 + j1{,}483
|Z_{tot}|\approx1{,}909\\ \Omega,\quad \angle Z_{tot}\approx51{,}33^\circ.
A corrente de fase em Y (que é igual à corrente de linha do sistema trifásico) é
I_{ph} = \frac{V_{ph,G}}{Z_{tot}} = \frac{127{,}02\\ \angle(-30^\circ)}{1{,}909\\ \angle51{,}33^\circ} \approx 66{,}56\\ \angle(-81{,}33^\circ)\\ \text{A}.
Logo as correntes de linha são
I_A = 66{,}56\\ \angle(-81{,}33^\circ)\,\text{A},\quad I_B = 66{,}56\\ \angle(-81{,}33^\circ - 120^\circ)\,\text{A},
I_C = 66{,}56\\ \angle(-81{,}33^\circ + 120^\circ)\,\text{A}.

Passo 4

Tensão de fase na carga (em Y):
V_{ph,C} = I_{ph}\,Z_{ph,C} = 66{,}56\\ \angle(-81{,}33^\circ)\;\times\;1{,}667\\ \angle53{,}13^\circ \approx 111{,}0\\ \angle(-28{,}20^\circ)\,\text{V}.
Então a tensão de linha na carga é
V_{LL,C} = \sqrt3\,V_{ph,C}\,\angle(+30^\circ) \approx 1{,}732\times111{,}0\\ \angle( -28{,}20^\circ +30^\circ)
\approx 192{,}3\\ \angle1{,}80^\circ\\ \text{V},
e os outros dois fasores defasados de \pm120^\circ.

Passo 5

Agora voltamos do Y para o \Delta na carga. A corrente em cada ramo da carga \Delta é
I_{\Delta} = \frac{V_{LL,C}}{Z_{\Delta}} = \frac{192{,}3\\ \angle1{,}80^\circ}{5\\ \angle53{,}13^\circ} \approx 38{,}46\\ \angle(-51{,}33^\circ)\\ \text{A}.
Os três ramos têm as mesmas magnitude e estão defasados em 120^\circ.

Passo 6

Diagrama de fasores (resumindo ângulos):
V_{LL,G}: 220 V em 0^\circ, -120^\circ, +120^\circ.
V_{ph,G}: 127{,}02,V em -30^\circ, -150^\circ, +90^\circ.
I_{L}: 66{,}56,A em -81{,}33^\circ, -201{,}33^\circ, +38{,}67^\circ.
V_{LL,C}: 192{,}3,V em +1{,}80^\circ, -118{,}2^\circ, +121{,}8^\circ.
I_{\Delta}: 38{,}46,A em -51{,}33^\circ, -171{,}33^\circ, +68{,}67^\circ.

Resposta

(a) Tensões no gerador:
\displaystyle V_{LL,G}=220,V;
\displaystyle V_{ph,G}=\frac{220}{\sqrt3}\angle(-30^\circ)\approx127{,}0\angle(-30^\circ),V.
(b) Correntes de linha:
\displaystyle I_A=66{,}56\,\angle(-81{,}33^\circ),A,
\displaystyle I_B=66{,}56\,\angle(-201{,}33^\circ),A,
\displaystyle I_C=66{,}56\,\angle(38{,}67^\circ),A.
(c) Correntes de fase na carga ( \Delta):
\displaystyle I_{\Delta}=38{,}46\,\angle(-51{,}33^\circ),A (cada ramo).
(d) Tensões na carga:
\displaystyle V_{LL,C}=192{,}3\,\angle(1{,}80^\circ),V;
\displaystyle V_{ph,C}=\frac{V_{LL,C}}{\sqrt3}\angle(-30^\circ)\approx111{,}0\,\angle(-28{,}20^\circ),V.
(e) Diagrama de fasores conforme descrito no Passo 6.

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