UM GERADOR TRIFÁSICO EM Y POSSUI TENSÃO INTERNA DE 220 V , RESISTÊNCIA INTERNA DE 0,1+\mathrm{J} 0,7 \Omega, ESTÁ LIGADO ATRAVÉS DE UMA LINHA DE IMPEDÂNCIA 1+\mathrm{J} 0,3 \Omega (POR FASE) À UMA CARGA TRIFÁSICA EQUILIBRADA EM Y DE 0,3+\mathrm{J} \Omega. DESENHE O CIRCUITO MONOFÁSICO EQUIVALENTE. CALCULE A CORRENTE DE LINHA E DE FASE NA CARGA, A TENSÃO DE FASE E DE LINHA NA CARGA, O FATOR DE POTÊNCIA NA CARGA.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (por fase):
E_{\text{int}}=220\\ \text{V}
Z_g=0{,}1+\mathrm{j}0{,}7\\ \Omega
Z_{\ell}=1+\mathrm{j}0{,}3\\ \Omega
Z_C=0{,}3+\mathrm{j}\\ ?\\ \Omega
O enunciado trouxe a carga como 0{,}3+\mathrm{j}\\ \Omega sem indicar o coeficiente imaginário após o \mathrm{j}. Não tenho certeza do valor imaginário da carga. Para poder resolver o problema vou assumir, por uma escolha razoável para exercício, que a carga é
Z_C=0{,}3+\mathrm{j}1{,}0\\ \Omega.
Se o valor correto for outro, os passos e o método continuam válidos — basta substituir o valor imaginário e recalcular.
O que o enunciado pede:
  • Desenhar o circuito monofásico equivalente (vou descrever).
  • Calcular a corrente de linha e de fase na carga.
  • Calcular a tensão de fase na carga e a tensão de linha na carga.
  • Calcular o fator de potência na carga.
Obs.: por ser sistema trifásico equilibrado em ligação Y, podemos trabalhar com o circuito monofásico equivalente por fase; a corrente de fase será igual à corrente de linha.

Passo 2

Desenho/descrição do circuito monofásico equivalente (por fase):
  • Fonte de tensão (tensão interna da fase do gerador): E_{\text{int}}=220\\ \text{V} (fonte fasorial).
  • Em série com a fonte, a impedância interna do gerador: Z_g=0{,}1+\mathrm{j}0{,}7\\ \Omega.
  • Em seguida, em série, a impedância da linha por fase: Z_{\ell}=1+\mathrm{j}0{,}3\\ \Omega.
  • Por fim, entre o condutor de fase e o neutro, a impedância da carga por fase: Z_C=0{,}3+\mathrm{j}1{,}0\\ \Omega (supondo o valor imaginário igual a 1{,}0).
Ou seja, em série temos:
E_{\text{int}} \longrightarrow Z_g \longrightarrow Z_{\ell} \longrightarrow Z_C \longrightarrow \text{neutro}.
Explicação rápida (didática): em sistemas trifásicos equilibrados, cada fase é idêntica; portanto podemos analisar uma fase só. A corrente que atravessa a carga de uma fase é a mesma que circula na linha dessa fase (corrente de linha = corrente de fase).

Passo 3

Entendendo impedâncias e fasores (mini-aula):
  • Impedância complexa: escreve-se Z=R+\mathrm{j}X, onde R é a resistência (parte real) e X a reatância (parte imaginária). Se X>0 a carga é indutiva (corrente atrasada em relação à tensão); se X<0 é capacitiva (corrente adiantada).
  • Um fasor de tensão ou corrente é uma representação complexa: |V|\angle\theta significa magnitude |V| e ângulo \theta (em graus).
  • Quando as grandezas estão em forma fasorial, as leis de Kirchhoff valem com operações complexas. Corrente por fase é:
I=\frac{E_{\text{int}}}{Z_{\text{total}}}
onde
Z_{\text{total}}=Z_g+Z_{\ell}+Z_C.

Passo 4

Calcular a impedância total por fase.
Somando partes reais e imaginárias:
\Re(Z_{\text{total}})=0{,}1+1{,}0+0{,}3=1{,}4
\Im(Z_{\text{total}})=0{,}7+0{,}3+1{,}0=2{,}0
Portanto
Z_{\text{total}}=1{,}4+\mathrm{j}2{,}0\\ \Omega.
Agora convertemos para forma polar para facilitar a divisão:
|Z_{\text{total}}|=\sqrt{1{,}4^{2}+2{,}0^{2}}=\sqrt{1{,}96+4}= \sqrt{5{,}96}\approx2{,}441\\ \Omega,
\angle Z_{\text{total}}=\arctan\!\left(\frac{2{,}0}{1{,}4}\right)=\arctan(1{,}4286)\approx55^\circ.

Passo 5

Calcular a corrente por fase (fasor).
Usamos
I=\frac{E_{\text{int}}}{Z_{\text{total}}}.
Em forma polar:
E_{\text{int}}=220\angle 0^\circ\\ \text{V},\qquad Z_{\text{total}}=2{,}441\angle 55^\circ\\ \Omega.
Logo
I=\frac{220\angle 0^\circ}{2{,}441\angle 55^\circ}= \frac{220}{2{,}441}\angle(-55^\circ)\approx90{,}142\angle -55^\circ\\ \text{A}.
Também é útil a forma retangular (para multiplicações posteriores):
I\approx 90{,}142\cos(-55^\circ)+\mathrm{j}\,90{,}142\sin(-55^\circ)\approx 51{,}72-\mathrm{j}\,74{,}18\\ \text{A}.
Interpretação didática: o ângulo negativo de I indica que a corrente está atrasada em relação à tensão da fonte (porque a impedância total é indutiva).

Passo 6

Corrente de linha e corrente de fase na carga.
Em ligação Y equilibrada, a corrente de linha é igual à corrente de fase na carga. Portanto:
I_{\text{fase}}=I_{\text{linha}}=I\approx90{,}14\angle -55^\circ\\ \text{A}.

Passo 7

Calcular a tensão de fase na carga (queda sobre Z_C).
Usamos
V_{F}=I\cdot Z_C.
Primeiro representamos Z_C em forma polar:
Z_C=0{,}3+\mathrm{j}1{,}0\\ \Rightarrow\\ |Z_C|=\sqrt{0{,}3^{2}+1{,}0^{2}}=\sqrt{0{,}09+1}= \sqrt{1{,}09}\approx1{,}044,
\angle Z_C=\arctan\!\left(\frac{1{,}0}{0{,}3}\right)=\arctan(3{,}333)\approx73{,}3^\circ.
Agora multiplicamos fasores (módulos multiplicam, ângulos somam):
V_{F}=90{,}142\angle -55^\circ \times 1{,}044\angle 73{,}3^\circ =94{,}142\angle 18{,}3^\circ\\ \text{V}.
Forma retangular:
V_{F}\approx94{,}142\cos(18{,}3^\circ)+\mathrm{j}\,94{,}142\sin(18{,}3^\circ)\approx89{,}49+\mathrm{j}\,29{,}56\\ \text{V}.
Explicação: esta é a tensão de fase na carga (entre fase e neutro da carga).

Passo 8

Calcular a tensão de linha na carga (tensão fase-fase).
Para uma carga em Y equilibrada, a relação entre a tensão de linha (fase a fase) e a tensão de fase (fase a neutro) é
V_{L}=\sqrt{3}\,V_{F}\angle +30^\circ,
ou seja magnitude multiplicada por \sqrt{3} e o fasor de linha lidera o fasor de fase em 30^\circ.
Assim,
|V_{L}|=\sqrt{3}\times 94{,}142\approx1{,}732\times94{,}142\approx162{,}98\\ \text{V},
\angle V_{L}=18{,}3^\circ+30^\circ=48{,}3^\circ.
Logo
V_{L}\approx162{,}98\angle 48{,}3^\circ\\ \text{V}.

Passo 9

Calcular o fator de potência na carga.
O fator de potência da carga depende somente do ângulo da impedância da carga:
\text{PF}=\cos(\angle Z_C).
Já encontramos \angle Z_C\approx73{,}3^\circ, então
\text{PF}=\cos(73{,}3^\circ)\approx0{,}292.
Como \angle Z_C>0 (reatância indutiva), o fator de potência é com sinal de atraso (lagging).
Interpretação didática rápida: PF pequeno significa que a carga consome muita potência reativa em relação à ativa — a corrente está muito defasada em relação à tensão.

Resposta

Corrente de fase e de linha na carga: I=90{,}14\angle -55^\circ\\ \text{A} \\ (\,\approx51{,}72-\mathrm{j}\,74{,}18\\ \text{A}\,)
Tensão de fase na carga: V_{F}=94{,}14\angle 18{,}3^\circ\\ \text{V}
Tensão de linha na carga: V_{L}=162{,}98\angle 48{,}3^\circ\\ \text{V}
Fator de potência na carga: \mathrm{PF}=0{,}292 (atraso)

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