UMA CARGA TRIFÁSICA EQUILIBRADA, DE IMPEDÂNCIA 11 ÂNGULO 45^{\circ} \Omega POR FASE, ESTÁ LIGADA EM TRIÂNGULO. SENDO VAB =381 \mathrm{COM} ÂNGULO 30^{\circ} \mathrm{V}, \mathrm{VBC}=381 \mathrm{COM} ÂNGULO -90^{\circ} \mathrm{V} E VCA = 381 COM ÂNGULO 150^{\circ} \mathrm{V}.
CALCULE:
a) AS CORRENTES NAS FASES; b) AS CORRENTES NAS LINHAS; c) A POTÊNCIA ATIVA TRIFÁSICA; d) A POTÊNCIA REATIVA TRIFÁSICA. TRACE UM DIAGRAMA FASORIAL CONTENDO AS CORRENTES DE FASE E DE LINHA, IDENTIFICANDO A SEQUÊNCIA DE FASES.

Passo 1

O enunciado dá uma carga trifásica equilibrada ligada em triângulo (Δ) com impedância por fase
Z_{f}=11\angle 45^{\circ}\\ \Omega
e tensões de linha (tensões entre fases) iguais a
V_{AB}=381\angle 30^{\circ}\\ \text{V},\qquad V_{BC}=381\angle -90^{\circ}\\ \text{V},\qquad V_{CA}=381\angle 150^{\circ}\\ \text{V}.
Pede-se:
a) as correntes nas fases (ramo do Δ);
b) as correntes nas linhas;
c) a potência ativa trifásica;
d) a potência reativa trifásica;
e) traçar (descrever) um diagrama fasorial com correntes de fase e de linha e identificar a sequência de fases.
Dados relevantes retirados do enunciado: as três tensões linha-linha têm mesma magnitude 381\\ \text{V} e ângulos mostrados; a impedância por fase é a mesma para as três fases e vale 11\angle 45^{\circ}\\ \Omega. A carga é equilibrada (portanto as magnitudes das correntes de cada ramo são iguais, apenas com deslocamentos de fase).

Passo 2

Entendendo o circuito em triângulo (Δ) e como calcular as correntes:
  • Em ligação em triângulo cada impedância fica entre duas linhas, ou seja, a impedância de fase “ab” tem a tensão V_{AB} aplicada sobre ela, a impedância “bc” tem V_{BC}, e a impedância “ca” tem V_{CA}.
  • Definimos as correntes de ramo (correntes de fase do Δ) assim: I_{ab}=\frac{V_{AB}}{Z_{f}},\qquad I_{bc}=\frac{V_{BC}}{Z_{f}},\qquad I_{ca}=\frac{V_{CA}}{Z_{f}}.Isso vem diretamente da Lei de Ohm em fasores: corrente = tensão / impedância.
  • As correntes de linha (nos condutores A, B, C) são combinações das correntes dos ramos do Δ. Se adotarmos a convenção de direção:
    • I_{ab} flui de A para B (pelo ramo entre A e B),
    • I_{bc} flui de B para C,
    • I_{ca} flui de C para A.
      Então, pela conservação de corrente em cada nó do triângulo obtemos:
    I_{A}=I_{ab}-I_{ca},\qquad I_{B}=I_{bc}-I_{ab},\qquad I_{C}=I_{ca}-I_{bc}.(Explicação curta: em A, a corrente que sai para B é I_{ab} e a corrente que entra desde C é I_{ca}; a corrente de linha I_A é a soma algébrica destas correntes, resultando em I_{ab}-I_{ca}.)
  • Potência trifásica (complexa total) para sistema equilibrado em Δ: tomamos a potência por fase e multiplicamos por 3. A potência complexa por fase é S_{ph}=V_{LL}\, I_{ph}^{*},onde I_{ph}^{*} é o conjugado da corrente de fase (do ramo). Como I_{ph}=V_{LL}/Z_{f}, segue-se que S_{total}=3\,V_{LL}I_{ph}^{*}=3\frac{|V_{LL}|^{2}}{Z_{f}^{*}}.Em termos de módulo e ângulo, o ângulo da potência será igual ao ângulo de Z_{f} (veremos na prática). A parte ativa P é \Re\{S_{total}\} e reativa Q=\Im\{S_{total}\}.

Passo 3

Calculemos primeiro as correntes de fase (ramos do Δ) usando \;I_{ph}=\dfrac{V_{LL}}{Z_{f}}.
Magnitude de cada corrente:
|I_{ph}|=\frac{|V_{LL}|}{|Z_{f}|}=\frac{381}{11}=34{,}636\\ \text{A}\quad(\text{aprox.})
ângulo de cada corrente: como \angle I = \angle V_{LL} - \angle Z_{f}, e \angle Z_{f}=45^{\circ},
  • Para o ramo AB: I_{ab}=\frac{V_{AB}}{Z_{f}}=34{,}636\angle(30^{\circ}-45^{\circ})=34{,}636\angle -15^{\circ}\\ \text{A}.
  • Para o ramo BC: I_{bc}=\frac{V_{BC}}{Z_{f}}=34{,}636\angle(-90^{\circ}-45^{\circ})=34{,}636\angle -135^{\circ}\\ \text{A}.
  • Para o ramo CA: I_{ca}=\frac{V_{CA}}{Z_{f}}=34{,}636\angle(150^{\circ}-45^{\circ})=34{,}636\angle 105^{\circ}\\ \text{A}.
Comentário didático: cada corrente de ramo tem intensidade 34{,}636\\ \text{A} e “fica atrasada” em 45^{\circ} em relação à respectiva tensão de ramo porque Z_{f} tem ângulo +45^{\circ} (impedância indutiva). Ou seja, corrente = tensão dividida por impedância → corrente tem ângulo da tensão menos ângulo da impedância.

Passo 4

Para subtrair fasores convenientemente (quando formarmos as correntes de linha) passamos os I_{ab},I_{bc},I_{ca} para forma retangular (componentes x — parte real, e y — parte imaginária). Usamos \cos e \sin.
Cálculos (arredondados a 3 casas decimais):
  • I_{ab}=34{,}636\angle -15^{\circ}:
    I_{ab}=34{,}636(\cos(-15^{\circ})+j\sin(-15^{\circ}))\approx 33{,}470 - j8{,}965\\ \text{A}.
  • I_{bc}=34{,}636\angle -135^{\circ}:
    I_{bc}=34{,}636(\cos(-135^{\circ})+j\sin(-135^{\circ}))\approx -24{,}498 - j24{,}498\\ \text{A}.
  • I_{ca}=34{,}636\angle 105^{\circ}:
    I_{ca}=34{,}636(\cos 105^{\circ}+j\sin 105^{\circ})\approx -8{,}965 + j33{,}470\\ \text{A}.
(São os valores que usaremos para fazer as subtrações vetoriais.)

Passo 5

Agora as correntes de linha, usando as fórmulas:
I_{A}=I_{ab}-I_{ca},\qquad I_{B}=I_{bc}-I_{ab},\qquad I_{C}=I_{ca}-I_{bc}.
Calcule I_{A}:
  • Em retangular: I_{A}=(33{,}470 - j8{,}965)-(-8{,}965 + j33{,}470)=(33{,}470+8{,}965) + j(-8{,}965-33{,}470)
I_{A}=42{,}435 - j42{,}435\\ \text{A}.
  • Módulo e ângulo: |I_{A}|=\sqrt{42{,}435^{2}+(-42{,}435)^{2}}=60{,}000\\ \text{A},\qquad \angle I_{A}=\arctan\!\left(\frac{-42{,}435}{42{,}435}\right)=-45^{\circ}.Portanto I_{A}=60\angle -45^{\circ}\\ \text{A}.
Calcule I_{B}:
  • Em retangular: I_{B}=(-24{,}498 - j24{,}498)-(33{,}470 - j8{,}965)=(-24{,}498-33{,}470)+j(-24{,}498+8{,}965)
I_{B}=-57{,}968 - j15{,}533\\ \text{A}.
  • Módulo e ângulo: |I_{B}|\approx 60{,}000\\ \text{A},\qquad \angle I_{B}\approx -165^{\circ}.Assim I_{B}=60\angle -165^{\circ}\\ \text{A}.
Calcule I_{C}:
  • Em retangular: I_{C}=(-8{,}965 + j33{,}470)-(-24{,}498 - j24{,}498)=(-8{,}965+24{,}498)+j(33{,}470+24{,}498)
I_{C}=15{,}533 + j57{,}968\\ \text{A}.
  • Módulo e ângulo: |I_{C}|\approx 60{,}000\\ \text{A},\qquad \angle I_{C}\approx 75^{\circ}.Então I_{C}=60\angle 75^{\circ}\\ \text{A}.
Observação didática: a magnitude das correntes de linha resultou em 60\\ \text{A}, que é \sqrt{3} vezes a corrente de ramo do Δ? Vamos verificar: \sqrt{3}\cdot 34{,}636\approx 1{,}732\cdot 34{,}636\approx 60, ou seja, em um Δ equilibrado a corrente de linha tem magnitude igual a \sqrt{3} vezes a corrente de fase, e defasada de -30^{\circ} ou +30^{\circ} dependendo da direção — aqui deu ângulos compatíveis com as subtrações acima. Note também que as correntes de linha estão defasadas entre si de 120^{\circ}: -45^{\circ},\\\ -165^{\circ},\\\ 75^{\circ}, confirmando equilíbrio e sequência.

Passo 6

Sequência de fases e interpretação das fases das tensões:
  • Observe que \angle V_{AB}=30^{\circ} e \angle V_{BC}=-90^{\circ}. A diferença \;30^{\circ}-(-90^{\circ})=120^{\circ}, ou seja V_{AB} adianta V_{BC} de 120^{\circ}. Isso mostra que a sequência das tensões é \text{A}\rightarrow\text{B}\rightarrow\text{C} (sequência positiva, também chamada de ABC).
  • As correntes de ramo também seguem a mesma sequência em termos de defasagens, e as correntes de linha I_{A},I_{B},I_{C} apresentam fase A, depois B atrasada de 120^{\circ}, etc., confirmando sequência positiva (ABC).

Passo 7

Cálculo das potências (ativa e reativa) de forma didática:
  • Potência aparente por fase (módulo): |S_{ph}|=|V_{LL}|\;|I_{ph}|=381\cdot 34{,}636=13\,196{,}455\\ \text{VA}.
  • Ângulo da potência por fase é o ângulo entre tensão e corrente: \angle S_{ph}=\angle V_{LL}-\angle I_{ph}=\angle Z_{f}=45^{\circ}. (Interpretação: a potência complexa por fase tem ângulo igual ao ângulo da impedância.)
  • Assim a potência por fase em termos ativo e reativo: P_{ph}=|S_{ph}|\cos 45^{\circ}=13\,196{,}455\cdot 0{,}70710678\approx 9\,333{,}333\\ \text{W},
Q_{ph}=|S_{ph}|\sin 45^{\circ}=13\,196{,}455\cdot 0{,}70710678\approx 9\,333{,}333\\ \text{var}.
  • Potência total (trifásica) é três vezes a de uma fase: P_{total}=3P_{ph}=3\cdot 9\,333{,}333=28\,000\\ \text{W}=28\\ \text{kW},
Q_{total}=3Q_{ph}=3\cdot 9\,333{,}333=28\,000\\ \text{var}=28\\ \text{kVAr}.
  • A potência aparente total tem módulo |S_{total}|=\sqrt{P_{total}^{2}+Q_{total}^{2}}=28\,000\sqrt{2}\approx 39\,589{,}36\\ \text{VA},com ângulo \angle S_{total}=45^{\circ} (indutivo).

Passo 8

Como traçar o diagrama fasorial pedido (descrição passo a passo para desenhar à mão):
  1. Desenhe um eixo cartesiano (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical).
  2. Trace os três vetores de tensão linha a linha:
    • V_{AB} com magnitude proporcional a 381 e ângulo 30^{\circ}.
    • V_{BC} com magnitude igual e ângulo -90^{\circ}.
    • V_{CA} com magnitude igual e ângulo 150^{\circ}.
  3. As correntes de fase (ramos do Δ) são obtidas levando cada vetor tensão para trás de 45^{\circ} (porque a corrente atrasa a tensão por 45^{\circ}):
    • I_{ab}=34{,}636\angle -15^{\circ},
    • I_{bc}=34{,}636\angle -135^{\circ},
    • I_{ca}=34{,}636\angle 105^{\circ}.
      Desenhe esses vetores partindo de uma origem comum; eles terão magnitudes menores que os vetores de linha, conforme calculado.
  4. As correntes de linha são vetores resultantes das subtrações:
    • I_{A}=I_{ab}-I_{ca}=60\angle -45^{\circ},
    • I_{B}=I_{bc}-I_{ab}=60\angle -165^{\circ},
    • I_{C}=I_{ca}-I_{bc}=60\angle 75^{\circ}.
      Desenhe cada I_{A},I_{B},I_{C} a partir da origem; eles são maiores (≈60 A) e separados por 120^{\circ}.
  5. Identifique a sequência: note que os ângulos das tensões e depois das correntes seguem a ordem A → B → C (ABC, sequência positiva).
    Observação: se você desenhar com régua e transferidor, os vetores ficarão visualmente idênticos aos valores numéricos dados acima.

Resposta

a) I_{ab}=34{,}636\angle -15^{\circ}\\ \text{A},\quad I_{bc}=34{,}636\angle -135^{\circ}\\ \text{A},\quad I_{ca}=34{,}636\angle 105^{\circ}\\ \text{A}.
b) I_{A}=60\angle -45^{\circ}\\ \text{A},\quad I_{B}=60\angle -165^{\circ}\\ \text{A},\quad I_{C}=60\angle 75^{\circ}\\ \text{A}.
c) P_{trifásica}=28\,000\\ \text{W}.á
d) Q_{trifásica}=28\,000\\ \text{var}.á

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