Um gerador trifásico simétrico, com tensão de linha de 380 V , alimenta, através de uma linha, uma carga equilibrada constituída por três impedâncias de 20 \mid 30^{\circ} \Omega (cada uma) ligadas em estrela. A impedância de cada fio da linha é 2 \mid 30^{\circ} \Omega. Pede-se determinar:
a) tensões de fase e de linha no gerador;
b) correntes de fase e de linha na carga;
c) tensões de linha e de fase na carga;
d) queda de tensão de fase e queda de tensão de linha;
e) potência absorvida pela carga;
f) potência fornecida pelo gerador;
g) perdas na linha.
Resposta:
a) adotando-se seqüência de fases direta e fase nula para V_{A N} :
tensões de fase: V_{A N}=220 \mid \underline{0} \mathrm{~V} ; V_{B N}=220 \underline{-120^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{C N}=220 \underline{120^{\circ}} \mathrm{V};
tensões de linha: V_{A B}=380 \underline{30^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{B C}=380 \underline{-90^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{C A}=380 \underline{150^{\circ}} \mathrm{V};
b) correntes de linha e de fase (ligação Y): I_{A}=10 \underline{\underline{\Delta}} \underline{-30^{\circ}} \mathrm{A} ; I_{B}=10 \underline{\underline{\Delta}} \underline{\underline{50^{\circ}}} \mathrm{A} ; I_{C}=10 \underline{\underline{90^{\circ}}} \mathrm{A};
c) tensões de fase: V_{A^{\prime} N^{\prime}}=200\left|\underline{0} \mathrm{~V} ; V_{B^{\prime} N^{\prime}}=220-120^{\circ} \mathrm{V} ; V_{C^{\prime} N^{\prime}}=220\right| \underline{120^{\circ}} \mathrm{V};
tensões de linha: V_{A^{\prime} B^{\prime}}=346 \underline{30}^{\circ} \mathrm{V} ; V_{B^{\prime} C^{\prime}}=346 \underline{-90}^{\circ} \mathrm{V} ; V_{C^{\prime} A^{\prime}}=346 \underline{150}^{\circ} \mathrm{V};
d) fase: \quad V_{A A^{\prime}}=20\left\lfloor 0 \mathrm{~V} ; V_{B B^{\prime}}=20 \underline{-120^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{C C^{\prime}}=20 \underline{120^{\circ}} \mathrm{V}\right.;
linha: \quad V_{A B}-V_{A}{ }^{\prime} B^{\prime}=34 \underline{30^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{B C}-V_{B} C^{\prime}=34 \underline{-90^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{C A}-V_{C^{\prime} A^{\prime}}=34 \underline{150^{\circ}} \mathrm{V};
e) P=5196 \mathrm{~W} ; Q=3000 \mathrm{VAr} ; S=6000 \mathrm{VA};
f) P=5716 \mathrm{~W} ; Q=3300 \mathrm{VAr} ; S=6600 \mathrm{VA};
g) P=520 \mathrm{~W} ; Q=300 \mathrm{VAr} ; S=600 \mathrm{VA}.

Passo 1

O enunciado descreve um gerador trifásico simétrico em ligação estrela, com tensão de linha V_{LL}=380 V, que alimenta uma carga equilibrada em estrela com cada fase Z_C=20\angle 30^\circ~\Omega. Cada fio da linha tem impedância Z_\ell=2\angle 30^\circ~\Omega. Pede-se:
a) tensões de fase e linha no gerador;
b) correntes de fase (e, por simetria, de linha) na carga;
c) tensões de fase e linha na carga;
d) quedas de tensão de fase e de linha;
e) potência absorvida pela carga;
f) potência fornecida pelo gerador;
g) perdas na linha.
Conteúdo: teoria de circuitos trifásicos equilibrados e balanço de potências em presença de impedâncias de linha.

Passo 2

Calcular a tensão de fase do gerador a partir de V_{LL}. Em sistema estrela equilibrado vale
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\approx220\text{ V}.
Adotando sequência direta e referência em V_{AN}:
V_{AN}=220\angle 0^\circ\text{ V},\quad V_{BN}=220\angle -120^\circ\text{ V},\quad V_{CN}=220\angle 120^\circ\text{ V}.
As tensões de linha são
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}=380\angle 30^\circ\text{ V},\; V_{BC}=380\angle -90^\circ\text{ V},\; V_{CA}=380\angle 150^\circ\text{ V}.

Passo 3

Determinar a impedância total por fase vista pelo gerador:
Z_{tot}=Z_\ell+Z_C=2\angle 30^\circ+20\angle 30^\circ=22\angle 30^\circ~\Omega.
A corrente de cada fase (e de linha, por ligação Y) é
I_A=\frac{V_{AN}}{Z_{tot}} =\frac{220\angle 0^\circ}{22\angle 30^\circ} =10\angle -30^\circ\text{ A}.
Pelo equilíbrio trifásico seguem
I_B=10\angle(-120^\circ-30^\circ)=10\angle -150^\circ\text{ A},\quad I_C=10\angle(120^\circ-30^\circ)=10\angle 90^\circ\text{ A}.

Passo 4

Calcular as tensões de fase na carga subtraindo a queda na linha:
V_{AA'}=I_A\,Z_\ell =10\angle -30^\circ\cdot 2\angle 30^\circ=20\angle 0^\circ\text{ V},
V_{A'N'}=V_{AN}-V_{AA'}=220\angle 0^\circ-20\angle 0^\circ=200\angle 0^\circ\text{ V},
e, por simetria,
V_{B'N'}=200\angle -120^\circ\text{ V},\quad V_{C'N'}=200\angle 120^\circ\text{ V}.
As tensões de linha na carga valem \sqrt{3} vezes a fase:
V_{A'B'}=346\angle 30^\circ\text{ V},\; V_{B'C'}=346\angle -90^\circ\text{ V},\; V_{C'A'}=346\angle 150^\circ\text{ V}.

Passo 5

A queda de tensão de linha (entre pontos de linha) é a diferença entre as tensões de linha no gerador e na carga:
\Delta V_{AB}=V_{AB}-V_{A'B'} =380\angle 30^\circ-346\angle 30^\circ=34\angle 30^\circ\text{ V},
e, por simetria,
\Delta V_{BC}=34\angle -90^\circ\text{ V},\quad \Delta V_{CA}=34\angle 150^\circ\text{ V}.

Passo 6

Potência aparente e real reativa absorvidas pela carga:
S_C=3\,V_{ph,C}\,I_{ph}^* =3\cdot200\angle 0^\circ\cdot10\angle 30^\circ =6000\angle 30^\circ\text{ VA},
então
P_C=6000\cos30^\circ\approx5196\text{ W},\quad Q_C=6000\sin30^\circ=3000\text{ VAr}.

Passo 7

Potência fornecida pelo gerador:
S_G=3\,V_{ph,G}\,I_{ph}^* =3\cdot220\angle 0^\circ\cdot10\angle 30^\circ =6600\angle 30^\circ\text{ VA},
logo
P_G=6600\cos30^\circ\approx5716\text{ W},\quad Q_G=6600\sin30^\circ=3300\text{ VAr}.

Passo 8

Perdas na linha são a diferença entre o que o gerador fornece e o que a carga absorve:
P_{loss}=P_G-P_C=5716-5196=520\text{ W},
Q_{loss}=Q_G-Q_C=3300-3000=300\text{ VAr},
S_{loss}=\sqrt{P_{loss}^2+Q_{loss}^2}=600\text{ VA}.

Resposta

a) V_{AN}=220\angle0^\circ V, V_{BN}=220\angle-120^\circ V, V_{CN}=220\angle120^\circ V; V_{AB}=380\angle30^\circ V, V_{BC}=380\angle-90^\circ V, V_{CA}=380\angle150^\circ V.
b) I_A=10\angle-30^\circ A, I_B=10\angle-150^\circ A, I_C=10\angle90^\circ A.
c) V_{A'N'}=200\angle0^\circ V, V_{B'N'}=200\angle-120^\circ V, V_{C'N'}=200\angle120^\circ V; V_{A'B'}=346\angle30^\circ V, V_{B'C'}=346\angle-90^\circ V, V_{C'A'}=346\angle150^\circ V.
d) Queda de fase: V_{AA'}=20\angle0^\circ V, V_{BB'}=20\angle-120^\circ V, V_{CC'}=20\angle120^\circ V.
Queda de linha: \Delta V_{AB}=34\angle30^\circ V, \Delta V_{BC}=34\angle-90^\circ V, \Delta V_{CA}=34\angle150^\circ V.
e) P_C=5196 W, Q_C=3000 VAr, S_C=6000 VA.
f) P_G=5716 W, Q_G=3300 VAr, S_G=6600 VA.
g) P_{loss}=520 W, Q_{loss}=300 VAr, S_{loss}=600 VA.

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