1. A geratriz de um cone de revolução forma com o eixo do cone um ângulo de 45^{\circ}. Sendo A a área da seção meridiana do cone, calcule sua área total.

Passo 1

O enunciado dá um cone de revolução cuja geratriz forma um ângulo de 45^\circ com o eixo e informa que a área da seção meridiana vale A. Precisamos achar a área total (base + lateral) em função de A.

Passo 2

Na seção meridiana temos um triângulo isósceles de base 2r e altura h. A geratriz l satisfaz
\cos45^\circ = \frac{h}{l},
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h = \frac{l}{\sqrt2}.
Como \,l^2 = r^2 + h^2, substituindo h = l/\sqrt2 vem
r^2 + \frac{l^2}{2} = l^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{l^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{l}{\sqrt2}.
Comparando com h = l/\sqrt2, segue r = h.

Passo 3

A área da seção meridiana é
A = \frac{1}{2}\,(2r)\,h = r\,h.
Como r = h, temos A = r^2. Daí
r = \sqrt{A},\quad h = \sqrt{A},\quad l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2A}.

Passo 4

A área total do cone é soma da base e da lateral:
S = \pi r^2 + \pi r\,l = \pi A + \pi \sqrt{A}\,\sqrt{2A} = \pi A + \pi\sqrt2\,A = \pi A\,(1 + \sqrt2).

Resposta

\text{A área total vale } \pi\,A\,(1 + \sqrt2).á

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