Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
0,17090909 \ldots

Passo 1

O enunciado pede a fração geratriz da dízima periódica 0,17090909\ldots. O conteúdo que vamos usar é o método algébrico para converter décimais periódicos em frações: definimos a dízima como x, usamos potências de 10 para alinhar as partes não periódica e periódica, subtraímos para eliminar a repetição e resolvemos para x.

Passo 2

Seja
x = 0,17090909\ldots
Aqui a parte não periódica é “17” (duas casas decimais) e a periódica é “09” (duas casas). Multiplicamos x por 10^2=100 para deslocar a vírgula logo após a parte não periódica:
100x = 17,09090909\ldots

Passo 3

Agora queremos alinhar a repetição “09” para eliminá-la. Como o período tem 2 dígitos, multiplicamos novamente por 10^2=100:
10000x = 1709,09090909\ldots

Passo 4

Subtraindo as duas equações para cancelar a parte periódica, temos
10000x - 100x = 1709,09090909\ldots - 17,09090909\ldots
Logo
9900x = 1709,09090909\ldots - 17,09090909\ldots = 1692.
Portanto
x = \frac{1692}{9900}.

Passo 5

Basta simplificar a fração. Como \gcd(1692,9900)=36, divide-mos numerador e denominador por 36:
\frac{1692}{9900} = \frac{1692\div36}{9900\div36} = \frac{47}{275}.

Resposta

A geratriz de 0,17090909\ldots é \dfrac{47}{275}.

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