Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
9,3858585 \ldots

Passo 1

O enunciado pede a geratriz (ou seja, a forma de fração irredutível) da dízima periódica
9,3858585\ldots
Aqui o conteúdo é a conversão de decimal periódico em fração. Para isso vamos precisar identificar quantos dígitos não se repetem (parte aperiódica) e quantos formam o período, e então usar multiplicações por potências de 10 para eliminar a parte repetitiva.

Passo 2

Seja
x = 9,3858585\ldots
Observe que há k=1 dígito aperiódico (o “3”) e p=2 dígitos do período (o “85”). Para eliminar a parte periódica, multiplica-se x por 10^k e por 10^{k+p}. Assim:
10^1 x = 10x = 93,858585\ldots
10^{1+2}x = 10^3 x = 1000x = 9385,858585\ldots

Passo 3

Agora subtraímos para cancelar a parte periódica:
1000x - 10x = 9385,858585\ldots - 93,858585\ldots
990x = 9292
Portanto
x = \frac{9292}{990}.

Passo 4

Basta simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por 2:
x = \frac{9292}{990} = \frac{4646}{495}.

Resposta

A geratriz da dízima periódica 9,3858585\ldots é
\frac{4646}{495}.

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