- (Gere) Uma barra circular de latão de diâmetro
é composta por dois segmentos unidos por brassagem num plano
fazendo um ângulo
com o eixo da barra. As tensões admissíveis no latão são 13000 psi em tração e 7000 psi em cisalhamento. Na junta brasada, as tensões admissíveis são 6000 psi em tração e 3000 psi em cisalhamento. Se a barra deve resistir uma força de tração
, qual é o diâmetro mínimo requerido
da barra?
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, com todas as informações escritas claramente:
- Força aplicada:
. - Ângulo da junta brasada com o eixo da barra:
. - Propriedades do latão (material da barra):
- tensão admissível em tração:
, - tensão admissível em cisalhamento:
.
- tensão admissível em tração:
- Propriedades da junta brasada:
- tensão admissível em tração:
, - tensão admissível em cisalhamento:
.
- tensão admissível em tração:
- Geometria da barra: barra circular de diâmetro
(procuramos ).
O que é pedido: determinar o menor diâmetro
tal que, sob a carga axial
, nem o corpo da barra nem a junta brasada ultrapassem suas tensões admissíveis.
Passo 2
Estratégia (passo crucial para a prova): identificar os modos possíveis de falha que dependem de
e calcular, para cada modo, o diâmetro mínimo que evita essa falha; depois tomar o maior desses diâmetros (pois a barra deve satisfazer todas as condições).
Modos a verificar:
- Falha por tração no corpo da barra (seção transversal circular perpendicular ao eixo).
- Falha por tração na junta brasada, considerando a tensão normal na superfície inclinada
. - Falha por cisalhamento na junta brasada, considerando a tensão de cisalhamento na superfície inclinada
.
Vou calcular o diâmetro exigido por cada uma dessas verificações e então escolher o maior.
Passo 3
Verificação 1 — tração no corpo da barra (seção perpendicular ao eixo):
- A tensão média normal axial na seção é
, onde é a área da seção transversal. - Para uma seção circular,
. - A condição de segurança é
. - Portanto:
Substituindo números:
Logo, pelo critério de tração do material,
.
Passo 4
Introdução à transformação de tensões numa superfície inclinada (mini-aula prática):
- Temos uma tensão normal axial uniaxial
(no nosso caso ) atuando ao longo do eixo da barra. - Para uma superfície que faz ângulo
com o eixo, as componentes da tensão nessa superfície (normal e cisalhamento ) são, para o caso uniaxial, dadas por (fórmulas de transformação de tensões):
- Interpretação:
é a componente de tração que “abre” a junta; é a força de cisalhamento que tende a deslizar as duas partes na junta. - Observação prática: ambas as componentes são proporcionais a
(que depende de via ), então podemos traduzir limites admissíveis nessas direções em limites máximos aceitáveis para e, daí, em áreas/diâmetros.
Passo 5
Verificação 2 — tração na junta (componente normal na superfície inclinada):
- Condição de segurança:
. - Usando
e , temos: - Calculamos
e para : - Assim:
- Como
, a área mínima é: - Convertemos para diâmetro:
Portanto, para evitar abertura por tração na junta é necessário
.
Passo 6
Verificação 3 — cisalhamento na junta (componente de cisalhamento na superfície inclinada):
- Condição de segurança:
. - Usando
, obtemos: - Calculamos
e para : - Assim:
- Área mínima requerida:
- Converter para diâmetro:
Portanto, para evitar cisalhamento da junta é necessário
.
Passo 7
Comparação dos três requisitos (lembrando que a barra deve satisfazer todos):
-
. -
. -
.
O maior deles domina: a junta, em cisalhamento, é o caso crítico. Logo o diâmetro mínimo exigido é o obtido pela verificação de cisalhamento da junta.