1. (Gere) Uma barra circular de latão de diâmetro d é composta por dois segmentos unidos por brassagem num plano p q fazendo um ângulo \alpha=36^{\circ} com o eixo da barra. As tensões admissíveis no latão são 13000 psi em tração e 7000 psi em cisalhamento. Na junta brasada, as tensões admissíveis são 6000 psi em tração e 3000 psi em cisalhamento. Se a barra deve resistir uma força de tração \mathrm{P}=6500 \mathrm{lb}, qual é o diâmetro mínimo requerido \mathrm{d}_{\text {min }} da barra?

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, com todas as informações escritas claramente:
  • Força aplicada: \;P=6500\\ \text{lb}.
  • Ângulo da junta brasada com o eixo da barra: \;\alpha=36^\circ.
  • Propriedades do latão (material da barra):
    • tensão admissível em tração: \;\sigma_{\text{latão}}^{\text{adm}}=13000\\ \text{psi}ã,
    • tensão admissível em cisalhamento: \;\tau_{\text{latão}}^{\text{adm}}=7000\\ \text{psi}ã.
  • Propriedades da junta brasada:
    • tensão admissível em tração: \;\sigma_{\text{junta}}^{\text{adm}}=6000\\ \text{psi},
    • tensão admissível em cisalhamento: \;\tau_{\text{junta}}^{\text{adm}}=3000\\ \text{psi}.
  • Geometria da barra: barra circular de diâmetro \;d (procuramos \;d_{\text{min}}).
O que é pedido: determinar o menor diâmetro \;d_{\text{min}} tal que, sob a carga axial \;P, nem o corpo da barra nem a junta brasada ultrapassem suas tensões admissíveis.

Passo 2

Estratégia (passo crucial para a prova): identificar os modos possíveis de falha que dependem de \;d e calcular, para cada modo, o diâmetro mínimo que evita essa falha; depois tomar o maior desses diâmetros (pois a barra deve satisfazer todas as condições).
Modos a verificar:
  1. Falha por tração no corpo da barra (seção transversal circular perpendicular ao eixo).
  2. Falha por tração na junta brasada, considerando a tensão normal na superfície inclinada \;p q.
  3. Falha por cisalhamento na junta brasada, considerando a tensão de cisalhamento na superfície inclinada \;p q.
Vou calcular o diâmetro exigido por cada uma dessas verificações e então escolher o maior.

Passo 3

Verificação 1 — tração no corpo da barra (seção perpendicular ao eixo):
  • A tensão média normal axial na seção é \;\sigma = \dfrac{P}{A}, onde \;A é a área da seção transversal.
  • Para uma seção circular, \;A=\dfrac{\pi d^2}{4}.
  • A condição de segurança é \;\sigma \le \sigma_{\text{latão}}^{\text{adm}}=13000\\ \text{psi}ã.
  • Portanto: \dfrac{P}{A}\le\sigma_{\text{latão}}^{\text{adm}}ã
A \ge \dfrac{P}{\sigma_{\text{latão}}^{\text{adm}}}ã
\dfrac{\pi d^2}{4} \ge \dfrac{P}{\sigma_{\text{latão}}^{\text{adm}}}ã
d \ge \sqrt{\dfrac{4P}{\pi\,\sigma_{\text{latão}}^{\text{adm}}}}.ã
Substituindo números:
d \ge \sqrt{\dfrac{4\cdot 6500}{\pi\cdot 13000}} = \sqrt{\dfrac{26000}{\pi\cdot 13000}} = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx \sqrt{0,6366197} \approx 0,798\\ \text{in}.
Logo, pelo critério de tração do material, \;d_{\text{min,tração\_corpo}}\approx 0,798\\ \text{in}çã.

Passo 4

Introdução à transformação de tensões numa superfície inclinada (mini-aula prática):
  • Temos uma tensão normal axial uniaxial \;\sigma_x (no nosso caso \sigma_x = P/A) atuando ao longo do eixo da barra.
  • Para uma superfície que faz ângulo \;\alpha com o eixo, as componentes da tensão nessa superfície (normal \sigma_n e cisalhamento \tau) são, para o caso uniaxial, dadas por (fórmulas de transformação de tensões): \sigma_n = \sigma_x \cos^2\alpha,
\tau = \sigma_x \sin\alpha\cos\alpha.
  • Interpretação: \sigma_n é a componente de tração que “abre” a junta; \tau é a força de cisalhamento que tende a deslizar as duas partes na junta.
  • Observação prática: ambas as componentes são proporcionais a \sigma_x (que depende de d via A), então podemos traduzir limites admissíveis nessas direções em limites máximos aceitáveis para \sigma_x e, daí, em áreas/diâmetros.

Passo 5

Verificação 2 — tração na junta (componente normal na superfície inclinada):
  • Condição de segurança: \sigma_n \le \sigma_{\text{junta}}^{\text{adm}} = 6000\\ \text{psi}.
  • Usando \sigma_n = \sigma_x \cos^2\alpha e \sigma_x = P/A, temos: \sigma_x \le \dfrac{\sigma_{\text{junta}}^{\text{adm}}}{\cos^2\alpha}.
  • Calculamos \cos\alpha e \cos^2\alpha para \alpha=36^\circ: \cos36^\circ\approx 0{,}809016,\qquad \cos^236^\circ\approx 0{,}654508.
  • Assim: \sigma_x^{\max}=\dfrac{6000}{0{,}654508}\approx 9168{,}0\\ \text{psi}.
  • Como \sigma_x = P/A, a área mínima é: A \ge \dfrac{P}{\sigma_x^{\max}} = \dfrac{6500}{9168{,}0}\approx 0{,}7090\\ \text{in}^2.
  • Convertemos para diâmetro: d \ge \sqrt{\dfrac{4A}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 0{,}7090}{\pi}} \approx 0{,}951\\ \text{in}.
Portanto, para evitar abertura por tração na junta é necessário \;d_{\text{min,tração\_junta}}\approx 0,951\\ \text{in}çã.

Passo 6

Verificação 3 — cisalhamento na junta (componente de cisalhamento na superfície inclinada):
  • Condição de segurança: \tau \le \tau_{\text{junta}}^{\text{adm}} = 3000\\ \text{psi}.
  • Usando \tau = \sigma_x \sin\alpha\cos\alpha, obtemos: \sigma_x \le \dfrac{\tau_{\text{junta}}^{\text{adm}}}{\sin\alpha\cos\alpha}.
  • Calculamos \sin\alpha e \sin\alpha\cos\alpha para \alpha=36^\circ: \sin36^\circ\approx 0{,}587785,\qquad \sin36^\circ\cos36^\circ\approx 0{,}475528.
  • Assim: \sigma_x^{\max}=\dfrac{3000}{0{,}475528}\approx 6307{,}0\\ \text{psi}.
  • Área mínima requerida: A \ge \dfrac{P}{\sigma_x^{\max}} = \dfrac{6500}{6307{,}0}\approx 1{,}0306\\ \text{in}^2.
  • Converter para diâmetro: d \ge \sqrt{\dfrac{4\cdot 1{,}0306}{\pi}} \approx 1{,}146\\ \text{in}.
Portanto, para evitar cisalhamento da junta é necessário \;d_{\text{min,cisalhamento\_junta}}\approx 1,146\\ \text{in}.

Passo 7

Comparação dos três requisitos (lembrando que a barra deve satisfazer todos):
  • \;d_{\text{min,tração\_corpo}}\approx 0{,}798\\ \text{in}çã.
  • \;d_{\text{min,tração\_junta}}\approx 0{,}951\\ \text{in}çã.
  • \;d_{\text{min,cisalhamento\_junta}}\approx 1{,}146\\ \text{in}.
O maior deles domina: a junta, em cisalhamento, é o caso crítico. Logo o diâmetro mínimo exigido é o obtido pela verificação de cisalhamento da junta.

Resposta

d_{\text{min}}=1{,}15\\ \text{in}

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