1. (Gere) Uma plataforma de aço suporta restos de maquinaria pesados sob quatro suportes cilíndricos, vazados e curtos,
    feitos de ferro fundido. A resistência ultima do ferro fundido em compressão é de 50 ksi . O diâmetro externo dos suportes é \mathrm{d}=4,5 \mathrm{in}. E a espessura da parede é \mathrm{t}=0,40 \mathrm{in}.
    Usando um fator de segurança em relação à resistência última, determine a carga total que pode ser suportada pela plataforma.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a carga total que a plataforma pode suportar, usando um fator de segurança em relação à resistência última do material dos suportes. Informações dadas (peguei os números do enunciado/figura):
  • Número de suportes: quatro.
  • Resistência última em compressão do ferro fundido: \sigma_u = 50\\ \text{ksi}.
  • Diâmetro externo do suporte: d = 4{,}5\\ \text{in}.
  • Espessura da parede do tubo (suporte): t = 0{,}40\\ \text{in}.
  • Os suportes são curtos e vazados (hastes curtas, então a ruptura por compressão direta domina — não consideramos flambagem).
Pergunta explícita: calcular a carga total admissível P_{\text{total}} em função do fator de segurança N (o enunciado não dá um valor numérico de N, então vou manter N simbólico e, por fim, mostrar exemplos para valores típicos de N).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aula rápida e prática):
  • Tensão normal (compressão) é dada por \sigma = \dfrac{P}{A}, onde P é a força (carga) aplicada e A é a área da seção transversal que resiste.
  • Quando usamos um fator de segurança N em relação à resistência última, a tensão admissível (ou tensão de projeto) é
\sigma_{\text{adm}} = \dfrac{\sigma_u}{N}.
Aqui \sigma_u é a resistência última (máxima antes da ruptura) e N>1 é o fator de segurança escolhido pelo projetista.
  • A carga admissível por um suporte é então
P_{\text{suporte}} = \sigma_{\text{adm}}\cdot A = \frac{\sigma_u}{N}\,A.
  • Como os quatro suportes compartilham a carga igualmente (assumimos carregamento estático e simétrico), a carga total admissível é
P_{\text{total}} = 4\,P_{\text{suporte}} = \frac{4\,\sigma_u\,A}{N}.
Explicação das variáveis:
  • A = área da seção transversal do tubo (anel) de cada suporte.
  • d = diâmetro externo do tubo.
  • t = espessura da parede do tubo.
  • d_i = diâmetro interno = d - 2t.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal do suporte (anel circular):
  • Primeiro o diâmetro interno:
d_i = d - 2t = 4{,}5 - 2(0{,}40) = 4{,}5 - 0{,}8 = 3{,}7\\ \text{in}.
  • Área da seção (área do anel) é a diferença entre a área do círculo externo e do interno:
A = \frac{\pi}{4}\left(d^2 - d_i^2\right).
Substituindo valores passo a passo:
d^2 = (4{,}5)^2 = 20{,}25,
d_i^2 = (3{,}7)^2 = 13{,}69,
d^2 - d_i^2 = 20{,}25 - 13{,}69 = 6{,}56.
Agora calcular A:
A = \frac{\pi}{4}\cdot 6{,}56 = 1{,}64\pi \\ \text{in}^2 \approx 5{,}1536\\ \text{in}^2.
(Fiz os passos numéricos para você poder repetir na prova sem calculadora: 6{,}56/4=1{,}64 e 1{,}64\pi dá aproximadamente 1{,}64\times3{,}1416.)

Passo 4

Carga admissível em um suporte (expressão e substituição):
  • Fórmula:
P_{\text{suporte}}=\frac{\sigma_u}{N}\,A.
  • Primeiro calcule \sigma_u\cdot A (unidades consistentes: \sigma_u em \text{ksi}=\text{kips/in}^2, A em \text{in}^2, o produto dá kips):
\sigma_u\cdot A = 50\\ \text{ksi}\times 5{,}1536\\ \text{in}^2 \approx 257{,}68\\ \text{kips}.
  • Então
P_{\text{suporte}} = \frac{257{,}68\\ \text{kips}}{N}.

Passo 5

Carga total admissível para os quatro suportes:
P_{\text{total}} = 4\,P_{\text{suporte}} = \frac{4\cdot 257{,}68\\ \text{kips}}{N} = \frac{1030{,}72\\ \text{kips}}{N}.
Equivalências úteis (para leitura rápida):
  • Em libras: 1\\ \text{kip}=1000\\ \text{lb}, então
P_{\text{total}}=\frac{1\,030\,720\\ \text{lb}}{N}.
  • Em unidades SI aproximadas: 1\\ \text{kip}\approx 4{,}44822\\ \text{kN}, logo
P_{\text{total}}\approx \frac{4\,588{,}1\\ \text{kN}}{N}.

Passo 6

Exemplos numéricos para fatores de segurança típicos (para você ter números práticos na prova ou projeto):
  • Se escolher N=2:
P_{\text{total}}=\frac{1030{,}72}{2}=515{,}36\\ \text{kips}\approx 2\,294{,}0\\ \text{kN}.
  • Se escolher N=3:
P_{\text{total}}=\frac{1030{,}72}{3}=343{,}57\\ \text{kips}\approx 1\,529{,}4\\ \text{kN}.
  • Se escolher N=4:
P_{\text{total}}=\frac{1030{,}72}{4}=257{,}68\\ \text{kips}\approx 1\,147{,}0\\ \text{kN}.
Comentário encorajador: não é complicado — a ideia é sempre a mesma: calcular a área que realmente suporta a carga, limitar a tensão pela resistência dividida pelo fator de segurança e multiplicar pelo número de apoios. Você já tem a receita para aplicar em qualquer problema parecido!

Resposta

P_{\text{total}}=\dfrac{4A\sigma_u}{N}=\dfrac{1030{,}72\\ \text{kips}}{N}=\dfrac{1\,030\,720\\ \text{lb}}{N}\approx\dfrac{4\,588{,}1\\ \text{kN}}{N}.
Para exemplos:
N=2:\;P_{\text{total}}=515{,}36\\ \text{kips}\approx 2\,294{,}0\\ \text{kN}.
N=3:\;P_{\text{total}}=343{,}57\\ \text{kips}\approx 1\,529{,}4\\ \text{kN}.

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