1. (Ugural) Determine o alongamento \delta_{\mathrm{A}} da barra piramidal de seção transversal quadrada, produzido por seu próprio peso, em função de seu comprimento L, do peso por unidade de volume \gamma e do módulo de elasticidade do material E.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o alongamento da barra piramidal de seção transversal quadrada produzido pelo próprio peso, em função de L, \gamma e E. Dados que eu vejo na figura (peguei esses dados da imagem): o comprimento total da barra é L, a aresta do quadrado na extremidade superior é a, o peso por unidade de volume é \gamma e o módulo de elasticidade é E. A barra é uma pirâmide com vértice em A (na extremidade inferior) e base quadrada de aresta a na extremidade superior; portanto a aresta da seção quadrada varia linearmente de 0 em A até a em x=L. A incógnita a encontrar é o alongamento total \delta_{\mathrm{A}} (variação axial de comprimento) causado pelo próprio peso da barra.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas conveniente: meço x a partir do vértice A ao longo do eixo da barra, com x=0 em A e x=L na base. Vou achar a área da seção transversal A(x) em função de x. Como a aresta do quadrado cresce linearmente de 0 a a quando x vai de 0 a L, a aresta no plano da seção a uma distância x do vértice é
s(x)=\frac{a}{L}\,x.
Explicando: isso vem da semelhança de triângulos — a razão entre aresta e comprimento é constante. A área da seção quadrada então é
A(x)=\bigl(s(x)\bigr)^2=\left(\frac{a}{L}x\right)^2=\frac{a^2}{L^2}\,x^2.

Passo 3

Agora penso na força axial que age através de uma seção localizada em x. O peso do trecho abaixo dessa seção (isto é, entre 0 e x) é a carga axial que puxa a seção. Um elemento infinitesimal de comprimento d x localizado em \xi (uso \xi como variável de integração) tem volume A(\xi)\,d\xi e peso \gamma\,A(\xi)\,d\xi. Portanto a força axial P(x) que atua numa seção em x (peso do material abaixo de x) é
P(x)=\int_{0}^{x}\gamma\,A(\xi)\,d\xi.
Aqui expliquei o raciocínio: a força em uma seção é a soma (integral) dos pesos de todos os elementos abaixo dela.

Passo 4

Substituo A(\xi)=\dfrac{a^2}{L^2}\,\xi^2 na integral para obter P(x):
P(x)=\int_{0}^{x}\gamma\left(\frac{a^2}{L^2}\xi^2\right)d\xi =\gamma\frac{a^2}{L^2}\int_{0}^{x}\xi^2\,d\xi =\gamma\frac{a^2}{L^2}\cdot\frac{x^3}{3}.
Portanto
P(x)=\frac{\gamma a^2}{3L^2}\,x^3.

Passo 5

Calculo a tensão axial média \sigma(x) na seção em x como a força axial dividida pela área da seção:
\sigma(x)=\frac{P(x)}{A(x)} =\frac{\dfrac{\gamma a^2}{3L^2}\,x^3}{\dfrac{a^2}{L^2}\,x^2}.
Simplificando (observe que a^2/L^2 cancela e x^3/x^2=x), obtemos
\sigma(x)=\frac{\gamma}{3}\,x.
Comentário didático: é elegante que a dependência com a e L caia quando passamos para a tensão — a tensão varia linearmente com a coordenada x ao longo da pirâmide, sendo zero no vértice e máxima na base.

Passo 6

Uso a lei de Hooke (válida para deformações elásticas e pequenas): a deformação axial \varepsilon(x) é a tensão dividida pelo módulo de elasticidade:
\varepsilon(x)=\frac{\sigma(x)}{E}=\frac{1}{E}\cdot\frac{\gamma}{3}\,x=\frac{\gamma}{3E}\,x.
A deformação \varepsilon(x) é a variação relativa de comprimento local. O alongamento absoluto de um pequeno elemento dx é d\delta=\varepsilon(x)\,dx.

Passo 7

Integro o alongamento diferencial ao longo de toda a barra para obter o alongamento total \delta_{\mathrm{A}}:
\delta_{\mathrm{A}}=\int_{0}^{L}\varepsilon(x)\,dx =\int_{0}^{L}\frac{\gamma}{3E}\,x\,dx =\frac{\gamma}{3E}\cdot\frac{L^2}{2}.
Fiz a integral de x que é x^2/2 avaliada entre 0 e L.

Passo 8

Simplificando a expressão obtemos a forma final do alongamento:
\delta_{\mathrm{A}}=\frac{\gamma L^2}{6E}.
Observação pedida: essa expressão é independente da aresta a da base — a geometria aparece no cálculo intermediário, mas cancela no final.

Resposta

\delta_{\mathrm{A}}=\frac{\gamma L^2}{6E}

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