- (Ugural) Determine o alongamento
da barra piramidal de seção transversal quadrada, produzido por seu próprio peso, em função de seu comprimento
, do peso por unidade de volume
e do módulo de elasticidade do material
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o alongamento da barra piramidal de seção transversal quadrada produzido pelo próprio peso, em função de
,
e
. Dados que eu vejo na figura (peguei esses dados da imagem): o comprimento total da barra é
, a aresta do quadrado na extremidade superior é
, o peso por unidade de volume é
e o módulo de elasticidade é
. A barra é uma pirâmide com vértice em
(na extremidade inferior) e base quadrada de aresta
na extremidade superior; portanto a aresta da seção quadrada varia linearmente de
em
até
em
. A incógnita a encontrar é o alongamento total
(variação axial de comprimento) causado pelo próprio peso da barra.
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas conveniente: meço
a partir do vértice
ao longo do eixo da barra, com
em
e
na base. Vou achar a área da seção transversal
em função de
. Como a aresta do quadrado cresce linearmente de
a
quando
vai de
a
, a aresta no plano da seção a uma distância
do vértice é
Explicando: isso vem da semelhança de triângulos — a razão entre aresta e comprimento é constante. A área da seção quadrada então é
Passo 3
Agora penso na força axial que age através de uma seção localizada em
. O peso do trecho abaixo dessa seção (isto é, entre
e
) é a carga axial que puxa a seção. Um elemento infinitesimal de comprimento
localizado em
(uso
como variável de integração) tem volume
e peso
. Portanto a força axial
que atua numa seção em
(peso do material abaixo de
) é
Aqui expliquei o raciocínio: a força em uma seção é a soma (integral) dos pesos de todos os elementos abaixo dela.
Passo 4
Substituo
na integral para obter
:
Portanto
Passo 5
Calculo a tensão axial média
na seção em
como a força axial dividida pela área da seção:
Simplificando (observe que
cancela e
), obtemos
Comentário didático: é elegante que a dependência com
e
caia quando passamos para a tensão — a tensão varia linearmente com a coordenada
ao longo da pirâmide, sendo zero no vértice e máxima na base.
Passo 6
Uso a lei de Hooke (válida para deformações elásticas e pequenas): a deformação axial
é a tensão dividida pelo módulo de elasticidade:
A deformação
é a variação relativa de comprimento local. O alongamento absoluto de um pequeno elemento
é
.
Passo 7
Integro o alongamento diferencial ao longo de toda a barra para obter o alongamento total
:
Fiz a integral de
que é
avaliada entre
e
.
Passo 8
Simplificando a expressão obtemos a forma final do alongamento:
Observação pedida: essa expressão é independente da aresta
da base — a geometria aparece no cálculo intermediário, mas cancela no final.