(Gere) Uma placa quadrada de concreto reforçado de 2,5 \mathrm{~m} de lado e 225 mm de espessura é levantada por quatro cabos conectados em seus vértices, como mostrado na figura. Os cabos são conectados em um gancho em um ponto 1.6 m acima da placa. Cada cabo tem uma área de seção transversal efetiva de \mathrm{A}=190 \mathrm{~mm}^{2}.
Determine as tensões de tração nos cabos devido ao peso da placa de concreto. Considere a densidade do concreto reforçado como \rho=2400 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as tensões de tração nos quatro cabos que levantam uma placa quadrada de concreto. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • lado da placa: \,2,5\\ \mathrm{m}\,;
  • espessura da placa: \,225\\ \mathrm{mm} = 0,225\\ \mathrm{m}\,;
  • densidade do concreto: \,\rho = 2400\\ \mathrm{kg/m^3}\,;
  • os quatro cabos estão conectados nos quatro vértices da placa e todos vão até um gancho central localizado \,1,6\\ \mathrm{m}\, acima do plano da placa (conforme figura);
  • área da seção de cada cabo: \,A = 190\\ \mathrm{mm^2}\,;
  • queremos a tensão de tração em cada cabo (vou calcular tanto a força de tração T em cada cabo quanto a tensão normal \sigma = força/área);
  • vou usar g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Calcular o peso da placa (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Volume da placa: é área de base vezes espessura.
V = (2,5)^2 \cdot 0,225
Compute:
V = 6,25 \cdot 0,225 = 1,40625\\ \mathrm{m^3}.
  1. massa da placa:
m = \rho V = 2400 \cdot 1,40625 = 3375\\ \mathrm{kg}.
  1. peso (força peso):
W = mg = 3375 \cdot 9,81 = 33108,75\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: aqui usamos a relação básica W = mg. m em kg e g em \mathrm{m/s^2} W em newtons ( \mathrm{N}).

Passo 3

Entender a geometria para obter a componente vertical da tensão em cada cabo.
  • Os cabos vão do gancho central até cada vértice. Assumimos simetria perfeita: o gancho está no centro da placa.
  • Distância horizontal (no plano da placa) do centro até um vértice: é metade da diagonal do quadrado. Metade do lado é 1,25\\ \mathrm{m}, então
r = \sqrt{(1,25)^2 + (1,25)^2} = \sqrt{1,5625 + 1,5625} = \sqrt{3,125} = 1,76776695\\ \mathrm{m}.
(Dica: é a distância do centro ao canto; se preferir, r = \tfrac{2,5}{\sqrt{2}}.)
  • O gancho está 1,6\\ \mathrm{m} acima do plano da placa, logo cada cabo forma um triângulo retângulo de catetos 1,6 (vertical) e r (horizontal). O comprimento do cabo não é necessário para o equilíbrio, mas podemos calcular o comprimento L para obter o cosseno do ângulo:
L = \sqrt{1,6^2 + r^2} = \sqrt{1,6^2 + 1,76776695^2} = \sqrt{2,56 + 3,125} = \sqrt{5,685} = 2,384342\\ \mathrm{m}.
  • O cosseno do ângulo \theta (ângulo entre o cabo e a vertical) é a razão vertical sobre a hipotenusa:
\cos\theta = \dfrac{1,6}{L} = \dfrac{1,6}{2,384342} = 0,671026\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático: usamos trigonometria do triângulo retângulo formado pelo cabo; a componente vertical da tensão é T\cos\theta.

Passo 4

Equilíbrio vertical: dividir o peso entre os quatro cabos e relacionar com a componente vertical de cada tensão.
  • A soma das componentes verticais das tensões dos quatro cabos deve equilibrar o peso:
4 \, T \cos\theta = W.
  • Isolando T:
T = \dfrac{W}{4\cos\theta}.
Explicação: cada cabo tem a mesma tensão T por simetria; a componente vertical de cada um é T\cos\theta; somando as quatro dá o total que suporta o peso.

Passo 5

Substituir os valores numéricos para obter a força de tração em cada cabo.
  • Substituindo W = 33108,75\\ \mathrm{N} e \cos\theta = 0,671026,
T = \dfrac{33108,75}{4 \cdot 0,671026} = \dfrac{33108,75}{2,684104} = 12337,6\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático: arredondamos de forma razoável; assim cada cabo puxa com cerca de 1,23\times10^{4}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Converter a área do cabo para metros quadrados e calcular a tensão normal (força por área) no cabo.
  • Conversão da área:
A = 190\\ \mathrm{mm^2} = 190 \times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2} = 1,90\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Tensão normal (esforço de tração) em cada cabo:
\sigma = \dfrac{T}{A} = \dfrac{12337,6}{1,90\times 10^{-4}} = 6,4935789\times 10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
\sigma \approx 64,9\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: 1\\ \mathrm{MPa} = 10^6\\ \mathrm{Pa}. A tensão é obtida dividindo a força (N) pela área (m^2).

Passo 7

Verificação rápida de consistência e comentário final:
  • O peso total W foi dividido por 4 e multiplicado pelo fator 1/\cos\theta (maior que 1) porque cada cabo precisa ter maior força que a simples quarta parte do peso devido à inclinação.
  • As unidades conferem: N / m^2 = Pa. Os números estão coerentes para cabos de pequena seção suportando uma placa pesada.

Resposta

Tensão em cada cabo (força): T \approx 1,2338\times 10^{4}\\ \mathrm{N}. \nTensão normal no cabo (sigma): \sigma \approx 64,9\\ \mathrm{MPa}.

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