(Gere) Uma placa quadrada de concreto reforçado de
de lado e 225 mm de espessura é levantada por quatro cabos conectados em seus vértices, como mostrado na figura. Os cabos são conectados em um gancho em um ponto 1.6 m acima da placa. Cada cabo tem uma área de seção transversal efetiva de
.
Determine as tensões de tração nos cabos devido ao peso da placa de concreto. Considere a densidade do concreto reforçado como
.
Determine as tensões de tração nos cabos devido ao peso da placa de concreto. Considere a densidade do concreto reforçado como
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine as tensões de tração nos quatro cabos que levantam uma placa quadrada de concreto. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
- lado da placa:
; - espessura da placa:
; - densidade do concreto:
; - os quatro cabos estão conectados nos quatro vértices da placa e todos vão até um gancho central localizado
acima do plano da placa (conforme figura); - área da seção de cada cabo:
; - queremos a tensão de tração em cada cabo (vou calcular tanto a força de tração
em cada cabo quanto a tensão normal = força/área); - vou usar
.
Passo 2
Calcular o peso da placa (passo a passo, sem pular etapas).
- Volume da placa: é área de base vezes espessura.
Compute:
- massa da placa:
- peso (força peso):
Comentário didático: aqui usamos a relação básica
.
em kg e
em
dá
em newtons (
).
Passo 3
Entender a geometria para obter a componente vertical da tensão em cada cabo.
- Os cabos vão do gancho central até cada vértice. Assumimos simetria perfeita: o gancho está no centro da placa.
- Distância horizontal (no plano da placa) do centro até um vértice: é metade da diagonal do quadrado. Metade do lado é
, então
(Dica: é a distância do centro ao canto; se preferir,
.)
- O gancho está
acima do plano da placa, logo cada cabo forma um triângulo retângulo de catetos (vertical) e (horizontal). O comprimento do cabo não é necessário para o equilíbrio, mas podemos calcular o comprimento para obter o cosseno do ângulo:
- O cosseno do ângulo
(ângulo entre o cabo e a vertical) é a razão vertical sobre a hipotenusa:
Comentário didático: usamos trigonometria do triângulo retângulo formado pelo cabo; a componente vertical da tensão é
.
Passo 4
Equilíbrio vertical: dividir o peso entre os quatro cabos e relacionar com a componente vertical de cada tensão.
- A soma das componentes verticais das tensões dos quatro cabos deve equilibrar o peso:
- Isolando
:
Explicação: cada cabo tem a mesma tensão
por simetria; a componente vertical de cada um é
; somando as quatro dá o total que suporta o peso.
Passo 5
Substituir os valores numéricos para obter a força de tração em cada cabo.
- Substituindo
e ,
Comentário didático: arredondamos de forma razoável; assim cada cabo puxa com cerca de
.
Passo 6
Converter a área do cabo para metros quadrados e calcular a tensão normal (força por área) no cabo.
- Conversão da área:
- Tensão normal (esforço de tração) em cada cabo:
Em unidades mais usuais:
Comentário didático:
. A tensão é obtida dividindo a força (N) pela área (m^2).
Passo 7
Verificação rápida de consistência e comentário final:
- O peso total
foi dividido por 4 e multiplicado pelo fator (maior que 1) porque cada cabo precisa ter maior força que a simples quarta parte do peso devido à inclinação. - As unidades conferem:
. Os números estão coerentes para cabos de pequena seção suportando uma placa pesada.
Resposta
Tensão em cada cabo (força):
. \nTensão normal no cabo (sigma):
.