Uma partícula em movimento no plano x-y possui uma velocidade para t=6 s dada por 4 \hat{i}+5 \hat{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, em t=6,1 s sua velocidade se torna 4,3 \hat{i}+5,4 \hat{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a magnitude v_{m} de sua velocidade média durante o intervalo de 0,1 s e o ângulo \theta em relação ao eixo x.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:\n
  • Velocidade no instante t=6\\ \mathrm{s}: \vec{v}_1 = 4\hat{i} + 5\hat{j}\,(\mathrm{m/s}).\n
  • Velocidade no instante t=6{,}1\\ \mathrm{s}: \vec{v}_2 = 4{,}3\hat{i} + 5{,}4\hat{j}\,(\mathrm{m/s}).\n
  • Intervalo de tempo: \Delta t = 0{,}1\\ \mathrm{s}.\n
    Pede-se:\n
  1. A magnitude v_{m} da velocidade média no intervalo de 0{,}1\\ \mathrm{s}.\n
  2. O ângulo \theta dessa velocidade média em relação ao eixo x.\n

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
  • A velocidade média vetorial entre dois instantes é definida como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
\vec{v}_{\text{m}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2}\vec{v}(t)\,dt.
  • Se a aceleração for aproximadamente constante no intervalo (situação típica quando nos dão só duas velocidades muito próximas no tempo), então \vec{v}(t) varia linearmente entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Nesse caso a integral acima é simplesmente a média aritmética das velocidades multiplicada por \Delta t, o que leva à fórmula prática:
\vec{v}_{\text{m}}=\frac{\vec{v}_1+\vec{v}_2}{2}.
Isto significa que para aceleração constante (ou intervalo pequeno), a velocidade média é o vetor médio componente a componente. Vou usar essa fórmula porque temos só \vec{v}_1 e \vec{v}_2 e o intervalo é curto ( 0{,}1\\ \mathrm{s}).

Passo 3

Cálculo da velocidade média componente a componente:\n
Componente x:
v_{x,\text{m}}=\frac{4+4{,}3}{2}= \frac{8{,}3}{2}=4{,}15\\ \mathrm{m/s}.
Componente y:
v_{y,\text{m}}=\frac{5+5{,}4}{2}= \frac{10{,}4}{2}=5{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Logo o vetor velocidade média é
\vec{v}_{\text{m}}=4{,}15\hat{i}+5{,}2\hat{j}\\ (\mathrm{m/s}).

Passo 4

Cálculo da magnitude v_{m} (fórmula e interpretação):\n
A magnitude de um vetor com componentes v_x e v_y é dada pelo teorema de Pitágoras:
v_{m}=\sqrt{v_{x,\text{m}}^{2}+v_{y,\text{m}}^{2}}.
Substituindo os valores:
v_{m}=\sqrt{(4{,}15)^{2}+(5{,}2)^{2}}.
Calculemos as potências:
(4{,}15)^{2}=17{,}2225,\qquad (5{,}2)^{2}=27{,}04.
Somando:
17{,}2225+27{,}04=44{,}2625.
Então
v_{m}=\sqrt{44{,}2625}\approx 6{,}65\\ \mathrm{m/s}.
(Usei uma aproximação do valor da raiz quadrada; o importante para a prova é mostrar o procedimento e dar o valor com número razoável de algarismos significativos.)

Passo 5

Cálculo do ângulo \theta em relação ao eixo x (fórmula e interpretação):\n
O ângulo que o vetor faz com o eixo x é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_{y,\text{m}}}{v_{x,\text{m}}}\right).
Substituindo:
\theta=\arctan\!\left(\frac{5{,}2}{4{,}15}\right)=\arctan\!\left(1{,}253012\ldots\right).
Calculando a arcotangente:
\theta\approx 51{,}6^\circ.
Observação rápida: como v_x e v_y são positivos, o ângulo está no primeiro quadrante, então essa medida em graus é a correta.

Resposta

v_{m}\approx 6{,}65\\ \mathrm{m/s}\n
\theta\approx 51{,}6^\circ

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