Uma partícula em movimento no plano
possui uma velocidade para
dada por
, em
sua velocidade se torna
. Calcule a magnitude
de sua velocidade média durante o intervalo de
e o ângulo
em relação ao eixo
.
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:\n
- Velocidade no instante
: .\n - Velocidade no instante
: .\n - Intervalo de tempo:
.\n
Pede-se:\n
- A magnitude
da velocidade média no intervalo de .\n - O ângulo
dessa velocidade média em relação ao eixo .\n
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
- A velocidade média vetorial entre dois instantes é definida como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
- Se a aceleração for aproximadamente constante no intervalo (situação típica quando nos dão só duas velocidades muito próximas no tempo), então
varia linearmente entre e . Nesse caso a integral acima é simplesmente a média aritmética das velocidades multiplicada por , o que leva à fórmula prática:
Isto significa que para aceleração constante (ou intervalo pequeno), a velocidade média é o vetor médio componente a componente. Vou usar essa fórmula porque temos só
e
e o intervalo é curto (
).
Passo 3
Cálculo da velocidade média componente a componente:\n
Componente :
Componente
Componente
:
Logo o vetor velocidade média é
Passo 4
Cálculo da magnitude
(fórmula e interpretação):\n
A magnitude de um vetor com componentes e
é dada pelo teorema de Pitágoras:
A magnitude de um vetor com componentes
Substituindo os valores:
Calculemos as potências:
Somando:
Então
(Usei uma aproximação do valor da raiz quadrada; o importante para a prova é mostrar o procedimento e dar o valor com número razoável de algarismos significativos.)
Passo 5
Cálculo do ângulo
em relação ao eixo
(fórmula e interpretação):\n
O ângulo que o vetor faz com o eixo é dado por
O ângulo que o vetor faz com o eixo
Substituindo:
Calculando a arcotangente:
Observação rápida: como
e
são positivos, o ângulo está no primeiro quadrante, então essa medida em graus é a correta.