Uma partícula que se move em trajetória curvilínea tem sua coordenada dada em milímetros, variando com o tempo em segundos conforme x(t)=2 t^{2}-4 t e y(t)=3 t^{2}-\frac{t^{3}}{3}. Determine a magnitude e a direção dos vetores velocidade e aceleração quando t=2 s.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas da partícula (em milímetros) como funções do tempo (em segundos):
x(t)=2 t^{2}-4 t,
y(t)=3 t^{2}-\frac{t^{3}}{3}.
As perguntas são: determinar, no instante t=2\\ \text{s},
  1. a magnitude e a direção do vetor velocidade;
  2. a magnitude e a direção do vetor aceleração.
    Informações relevantes listadas: as expressões de x(t) e y(t), as unidades ( \text{mm} para posição, \text{s} para tempo) e o instante t=2\\ \text{s}. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito e como obter a velocidade: o vetor velocidade \mathbf{v}(t) é o vetor das derivadas temporais das coordenadas. Isso significa
\mathbf{v}(t)=\bigl(\dot{x}(t),\dot{y}(t)\bigr),
onde o ponto indica derivada em relação a t. Para derivar usamos a regra do poder (power rule): a derivada de t^{n} é n t^{n-1}, e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Agora derivamos componente a componente.
Derivando x(t)=2 t^{2}-4 t:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2 t^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}(4 t)=2\cdot 2 t - 4 =4 t - 4.
Derivando y(t)=3 t^{2}-\dfrac{t^{3}}{3}:
\dot{y}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3 t^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t^{3}}{3}\Bigr)=3\cdot 2 t - \frac{1}{3}\cdot 3 t^{2}=6 t - t^{2}.
Assim, a velocidade geral é
\mathbf{v}(t)=\bigl(4 t - 4,\;6 t - t^{2}\bigr).

Passo 3

Avaliar a velocidade em t=2\\ \text{s}: plugamos t=2 nas componentes.
\dot{x}(2)=4\cdot 2 - 4 = 8 - 4 = 4\\ \text{mm/s},
\dot{y}(2)=6\cdot 2 - 2^{2} = 12 - 4 = 8\\ \text{mm/s}.
Logo
\mathbf{v}(2)=\bigl(4,\;8\bigr)\\ \text{mm/s}.
Magnitude da velocidade: usamos a norma euclidiana em 2D,
\lVert \mathbf{v}(2)\rVert =\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\\ \text{mm/s}.
Valor numérico aproximado:
\lVert \mathbf{v}(2)\rVert \approx 8,944\\ \text{mm/s}.
Direção da velocidade: o ângulo \theta_{v} medido a partir do eixo x (positivo) é dado por
\theta_{v}=\arctan\!\left(\frac{\dot{y}(2)}{\dot{x}(2)}\right)=\arctan\!\left(\frac{8}{4}\right)=\arctan(2).
Como ambas as componentes são positivas, o ângulo está no primeiro quadrante. Em graus:
\theta_{v}\approx 63,435^{\circ}.
Também podemos escrever o versor (vetor unitário) na direção da velocidade:
\widehat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}(2)}{\lVert \mathbf{v}(2)\rVert =4\sqrt{5}}=\Bigl(\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 4

Conceito e como obter a aceleração: o vetor aceleração \mathbf{a}(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja as segundas derivadas de posição:
\mathbf{a}(t)=\bigl(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t)\bigr)=\bigl(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t)\bigr).
Derivamos as expressões de \dot{x}(t) e \dot{y}(t) que já obtivemos.
Derivando \dot{x}(t)=4 t - 4:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}(4 t - 4)=4.
Derivando \dot{y}(t)=6 t - t^{2}:
\ddot{y}(t)=\frac{d}{dt}(6 t - t^{2})=6 - 2 t.
Assim
\mathbf{a}(t)=\bigl(4,\;6-2 t\bigr)\\ \text{(mm/s}^{2}\text{)}.

Passo 5

Avaliar a aceleração em t=2\\ \text{s}: plugamos t=2.
\ddot{x}(2)=4\\ \text{mm/s}^{2},
\ddot{y}(2)=6-2\cdot 2 =6-4=2\\ \text{mm/s}^{2}.
Portanto
\mathbf{a}(2)=\bigl(4,\;2\bigr)\\ \text{mm/s}^{2}.
Magnitude da aceleração:
\lVert \mathbf{a}(2)\rVert =\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ \text{mm/s}^{2}.
Valor numérico aproximado:
\lVert \mathbf{a}(2)\rVert \approx 4,472\\ \text{mm/s}^{2}.
Direção da aceleração: o ângulo \theta_{a} medido a partir do eixo x é
\theta_{a}=\arctan\!\left(\frac{\ddot{y}(2)}{\ddot{x}(2)}\right)=\arctan\!\left(\frac{2}{4}\right)=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Novamente ambas as componentes são positivas, então \theta_{a} está no primeiro quadrante. Em graus:
\theta_{a}\approx 26,565^{\circ}.
O versor na direção da aceleração é
\widehat{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{a}(2)}{2\sqrt{5}}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr).

Resposta

\lVert \mathbf{v}(2)\rVert = 4\sqrt{5}\\ \text{mm/s} \approx 8,944\\ \text{mm/s}
\text{Direção de }\mathbf{v}(2): \theta_{v}=\arctan(2)\approx 63,435^{\circ}çã
\lVert \mathbf{a}(2)\rVert = 2\sqrt{5}\\ \text{mm/s}^{2} \approx 4,472\\ \text{mm/s}^{2}
\text{Direção de }\mathbf{a}(2): \theta_{a}=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 26,565^{\circ}çã

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