Uma partícula que se move em trajetória curvilínea tem sua coordenada dada em milímetros, variando com o tempo em segundos conforme
e
. Determine a magnitude e a direção dos vetores velocidade e aceleração quando
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas da partícula (em milímetros) como funções do tempo (em segundos):
As perguntas são: determinar, no instante
,
- a magnitude e a direção do vetor velocidade;
- a magnitude e a direção do vetor aceleração.
Informações relevantes listadas: as expressões dee , as unidades ( para posição, para tempo) e o instante . A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito e como obter a velocidade: o vetor velocidade
é o vetor das derivadas temporais das coordenadas. Isso significa
onde o ponto indica derivada em relação a
. Para derivar usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é
, e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Agora derivamos componente a componente.
Derivando
:
Derivando
:
Assim, a velocidade geral é
Passo 3
Avaliar a velocidade em
: plugamos
nas componentes.
Logo
Magnitude da velocidade: usamos a norma euclidiana em 2D,
Valor numérico aproximado:
Direção da velocidade: o ângulo
medido a partir do eixo
(positivo) é dado por
Como ambas as componentes são positivas, o ângulo está no primeiro quadrante. Em graus:
Também podemos escrever o versor (vetor unitário) na direção da velocidade:
Passo 4
Conceito e como obter a aceleração: o vetor aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja as segundas derivadas de posição:
Derivamos as expressões de
e
que já obtivemos.
Derivando
:
Derivando
:
Assim
Passo 5
Avaliar a aceleração em
: plugamos
.
Portanto
Magnitude da aceleração:
Valor numérico aproximado:
Direção da aceleração: o ângulo
medido a partir do eixo
é
Novamente ambas as componentes são positivas, então
está no primeiro quadrante. Em graus:
O versor na direção da aceleração é