Gere um sinal x[n]=cos (2 pi 0.2 n)+0.5 cos (2 pi 0.4 n) para n=0-63. Calcule sua DFT de 64 pontos usando FFT e plote o espectro de magnitude (em dB). Identifique as frequências normalizadas correspondentes aos picos.

Passo 1

O enunciado pede para gerar o sinal discreto
x[n] = cosl(2picdot0,2,nr) + 0,5,cosl(2picdot0,4,nr),
para n=0,1,dots,63, calcular sua DFT de 64 pontos usando FFT, plotar o espectro de magnitude em dB e identificar as frequências normalizadas dos picos. Vamos usar conceitos de série de Fourier discreta (DFT) e propriedade de simetria de espectro de sinais reais.

Passo 2

Geramos o vetor de amostras n e o sinal x[n]. Definimos
n = 0,1,dots,63
e construímos
x[n] = cosl(2picdot0,2,nr) + 0,5,cosl(2picdot0,4,nr)
Em MATLAB ou Python seria, por exemplo:
n = 0:63; x = cos(2picdot0,2cdot n) + 0,5,cos(2picdot0,4cdot n)

Passo 3

Para calcular a DFT de 64 pontos definimos
X[k] = sumn=0^63 x[n],e^-j2pi,k,n/64, k=0,1,dots,63
Na prática usamos o algoritmo FFT, que executa esse somatório de forma eficiente em O(Nlog N).

Passo 4

O espectro de magnitude em dB é dado por
|X[k]|dB = 20log10l(|X[k]|r),
onde |X[k]| = raizReX[k]^2 + ImX[k]^2.

Passo 5

Para visualizar, plote |X[k]|dB em função da frequência normalizada
fk = k64, k=0,1,dots,63
Em MATLAB/Python:
ttplot(fk, 20*log10(abs(X)))
devendo-se ajustar o eixo fkin[0,1).

Passo 6

Como o sinal original é real, o espectro é simétrico em torno de f=0,5. Os picos ocorrem nos índices
k1 approx 0,2cdot64 = 12,8Rightarrow k1=13,
k2 approx 0,4cdot64 = 25,6Rightarrow k2=26,
mais suas imagens espelhadas em 64-k. As frequências normalizadas correspondentes são
f1 = 1364 approx 0,203125, f2 = 2664 approx 0,40625

Resposta

As frequências normalizadas dos picos no espectro de magnitude (em dB) são aproximadamente
0,203125e0,40625

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