Gere valores entre [-3, 3], identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Bisseção, para a função: y=\cos (2-x); com precisão 0.001. Obs.: utilize pelo menos 4 casas decimais em seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede que eu gere valores da função y=\cos(2-x) no intervalo [-3,3], identifique um subintervalo onde exista uma raiz (ou seja, onde a função mude de sinal) e então encontre essa raiz usando o método da Bisseção com precisão 0{,}001. Informações dadas:
  • Função: f(x)=\cos(2-x).
  • Domínio alvo: x\in[-3,3].
  • Precisão desejada para a raiz: 0{,}001.
    O que vou entregar: uma geração de valores em [-3,3], a identificação de um intervalo onde há mudança de sinal (logo uma raiz), explicação do método da bisseção e iterações até atingir a precisão pedida.

Passo 2

Vou gerar valores de f(x)=\cos(2-x) em [-3,3] a cada 0{,}5 unidades (isso já dá uma boa visão e atende ao pedido de “gerar valores”). Para cada x mostro \theta=2-x e f(x)=\cos(\theta). Todos os valores numéricos aparecem com pelo menos 4 casas decimais.
  • Para x=-3: \theta=2-(-3)=5{,}0000. f(-3)=\cos(5{,}0000)=0{,}2836621853 (aprox.: 0{,}2837).
  • Para x=-2{,}5: \theta=4{,}5000. f(-2{,}5)=\cos(4{,}5000)=-0{,}2107957994 (aprox.: -0{,}2108).
  • Para x=-2{,}0: \theta=4{,}0000. f(-2{,}0)=\cos(4{,}0000)=-0{,}6536436209 (aprox.: -0{,}6536).
  • Para x=-1{,}5: \theta=3{,}5000. f(-1{,}5)=\cos(3{,}5000)=-0{,}9364566873 (aprox.: -0{,}9365).
  • Para x=-1{,}0: \theta=3{,}0000. f(-1{,}0)=\cos(3{,}0000)=-0{,}9899924966 (aprox.: -0{,}9900).
  • Para x=-0{,}5: \theta=2{,}5000. f(-0{,}5)=\cos(2{,}5000)=-0{,}8011436155 (aprox.: -0{,}8011).
  • Para x=0{,}0: \theta=2{,}0000. f(0{,}0)=\cos(2{,}0000)=-0{,}4161468365 (aprox.: -0{,}4161).
  • Para x=0{,}5: \theta=1{,}5000. f(0{,}5)=\cos(1{,}5000)=0{,}0707372017 (aprox.: 0{,}0707).
  • Para x=1{,}0: \theta=1{,}0000. f(1{,}0)=\cos(1{,}0000)=0{,}5403023059 (aprox.: 0{,}5403).
  • Para x=1{,}5: \theta=0{,}5000. f(1{,}5)=\cos(0{,}5000)=0{,}8775825620 (aprox.: 0{,}8776).
  • Para x=2{,}0: \theta=0{,}0000. f(2{,}0)=\cos(0{,}0000)=1{,}0000000000.
  • Para x=2{,}5: \theta=-0{,}5000. f(2{,}5)=\cos(-0{,}5000)=0{,}8775825620 (mesmo que para 0{,}5).
  • Para x=3{,}0: \theta=-1{,}0000. f(3{,}0)=\cos(-1{,}0000)=0{,}5403023059.
Observação rápida sobre os sinais: em x=0{,}0 temos f(0{,}0)=-0{,}4161 (negativo) e em x=0{,}5 temos f(0{,}5)=0{,}0707 (positivo). Logo há mudança de sinal em [0{,}0,\,0{,}5] e portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. (Também observei uma mudança de sinal entre x=-3 e x=-2{,}5, então há outras raízes, mas vou escolher o intervalo [0{,}0{,}5] porque ele contém uma raiz isolada e é pequeno — isso diminui o trabalho da bisseção.)

Passo 3

Escolhi o intervalo inicial para a bisseção como [a,b]=[0{,}0,\,0{,}5] porque:
  • f(0{,}0)=\cos(2)=-0{,}4161468365<0.
  • f(0{,}5)=\cos(1{,}5)=0{,}0707372017>0.
    Portanto f(a)\cdot f(b)<0 e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em [0{,}0{,}5].

Passo 4

Explicação didática do Método da Bisseção (passo-a-passo):
  • Ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0. A bisseção reduz repetidamente o comprimento do intervalo pela metade, mantendo sempre um subintervalo onde a função muda de sinal.
  • Algoritmo:
    1. Calcule m=\dfrac{a+b}{2} (ponto médio).
    2. Calcule f(m).
    3. Se f(m)=0 (exatamente), então m é a raiz. Caso contrário, substitua [a,b] por [a,m] se f(a)\cdot f(m)<0, ou por [m,b] se f(m)\cdot f(b)<0.
    4. Repita até que o comprimento do intervalo |b-a| seja menor ou igual à precisão desejada; então a raiz pode ser aproximada pelo ponto médio final.
  • Notas sobre precisão: aqui queremos precisão em x de 0{,}001. Vou parar quando |b-a|\le 0{,}001. Em cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2, então basta iterar até esse critério ser satisfeiro.

Passo 5

Aplicando a bisseção em [0{,}0,\,0{,}5]. Mostro as iterações com pelo menos 4 casas decimais em todos os números intermediários.
Dados iniciais:
  • a_0=0{,}0, f(a_0)=\cos(2)= -0{,}4161468365.
  • b_0=0{,}5, f(b_0)=\cos(1{,}5)= 0{,}0707372017.
    Comprimento inicial |b_0-a_0|=0{,}5.
Iteração 1:
  • m_1=\dfrac{0{,}0+0{,}5}{2}=0{,}2500.
  • \theta_1=2-m_1=1{,}7500. f(m_1)=\cos(1{,}7500)=-0{,}1782463850 (aprox.).
  • Sinal de f(m_1) é negativo, igual ao de f(a_0). Portanto a raiz está em [m_1,b_0]=[0{,}2500,\,0{,}5].
  • Novo intervalo: a_1=0{,}2500, b_1=0{,}5. Comprimento 0{,}25.
Iteração 2:
  • m_2=\dfrac{0{,}2500+0{,}5}{2}=0{,}3750.
  • \theta_2=2-m_2=1{,}6250. f(m_2)=\cos(1{,}6250)=-0{,}0583741436 (aprox.).
  • f(m_2) negativo → raiz em [0{,}3750,\,0{,}5].
  • Novo intervalo: a_2=0{,}3750, b_2=0{,}5. Comprimento 0{,}125.
Iteração 3:
  • m_3=\dfrac{0{,}3750+0{,}5}{2}=0{,}4375.
  • \theta_3=2-m_3=1{,}5625. f(m_3)=\cos(1{,}5625)=0{,}0082960370 (aprox.).
  • f(m_3) positivo → raiz em [0{,}3750,\,0{,}4375].
  • Novo intervalo: a_3=0{,}3750, b_3=0{,}4375. Comprimento 0{,}0625.
Iteração 4:
  • m_4=\dfrac{0{,}3750+0{,}4375}{2}=0{,}40625.
  • \theta_4=2-m_4=1{,}59375. f(m_4)=\cos(1{,}59375)=-0{,}0253921110 (aprox.).
  • f(m_4) negativo → raiz em [0{,}40625,\,0{,}4375].
  • Novo intervalo: a_4=0{,}40625, b_4=0{,}4375. Comprimento 0{,}03125.
Iteração 5:
  • m_5=\dfrac{0{,}40625+0{,}4375}{2}=0{,}421875.
  • \theta_5=2-m_5=1{,}578125. f(m_5)=\cos(1{,}578125)=-0{,}0088772370 (aprox.).
  • f(m_5) negativo → raiz em [0{,}421875,\,0{,}4375].
  • Novo intervalo: a_5=0{,}421875, b_5=0{,}4375. Comprimento 0{,}015625.
Iteração 6:
  • m_6=\dfrac{0{,}421875+0{,}4375}{2}=0{,}4296875.
  • \theta_6=2-m_6=1{,}5703125. f(m_6)=\cos(1{,}5703125)=0{,}0004838268 (aprox.).
  • f(m_6) positivo → raiz em [0{,}421875,\,0{,}4296875].
  • Novo intervalo: a_6=0{,}421875, b_6=0{,}4296875. Comprimento 0{,}0078125.
Observação: até aqui os sinais alternaram como esperado porque estamos aproximando o ângulo \theta=2-x para \tfrac{\pi}{2} (onde o cosseno zera).
Iteração 7:
  • m_7=\dfrac{0{,}421875+0{,}4296875}{2}=0{,}42578125.
  • \theta_7=2-m_7=1{,}57421875. f(m_7)=\cos(1{,}57421875)=-0{,}0040508953 (aprox.).
  • f(m_7) negativo → raiz em [0{,}42578125,\,0{,}4296875].
  • Novo intervalo: a_7=0{,}42578125, b_7=0{,}4296875. Comprimento 0{,}00390625.
Iteração 8:
  • m_8=\dfrac{0{,}42578125+0{,}4296875}{2}=0{,}427734375.
  • \theta_8=2-m_8=1{,}572265625. f(m_8)=\cos(1{,}572265625)=-0{,}0017851105 (aprox.).
  • f(m_8) negativo → raiz em [0{,}427734375,\,0{,}4296875].
  • Novo intervalo: a_8=0{,}427734375, b_8=0{,}4296875. Comprimento 0{,}001953125.
Iteração 9:
  • m_9=\dfrac{0{,}427734375+0{,}4296875}{2}=0{,}4287109375.
  • \theta_9=2-m_9=1{,}5712890625. f(m_9)=\cos(1{,}5712890625)=-0{,}0006500908 (aprox.).
  • f(m_9) negativo → raiz em [0{,}4287109375,\,0{,}4296875].
  • Novo intervalo: a_9=0{,}4287109375, b_9=0{,}4296875. Comprimento 0{,}0009765625.
Agora o comprimento do intervalo é |b_9-a_9|=0{,}0009765625\le 0{,}001. atingimos a precisão pedida em x.

Passo 6

Escolha da aproximação final e verificação:
  • Ponto médio final m_{\text{final}}=\dfrac{a_9+b_9}{2}=\dfrac{0{,}4287109375+0{,}4296875}{2}=0{,}42919921875.
  • Essa é uma aproximação com erro em x no máximo \dfrac{|b_9-a_9|}{2}=0{,}00048828125<0{,}001.
  • Se arredondarmos a três casas decimais (precisão 0{,}001), obtemos x\approx0{,}429.
Comentário final e incentivo: então encontramos uma raiz dentro de [0{,}0,\,0{,}5] e a bisseção nos deu x\approx0{,}429 com a precisão solicitada. Dá pra ver que o método é sistemático, confiável e perfeito para provas — segue sempre os mesmos passos, diminui o intervalo pela metade e garante erro controlado. Força aí, você consegue aplicar isso nas outras raízes também!

Resposta

x\approx0{,}429

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