Gere valores entre [-3, 3], identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Bisseção, para a função:
; com precisão 0.001. Obs.: utilize pelo menos 4 casas decimais em seus cálculos.
Passo 1
O enunciado pede que eu gere valores da função
no intervalo
, identifique um subintervalo onde exista uma raiz (ou seja, onde a função mude de sinal) e então encontre essa raiz usando o método da Bisseção com precisão
. Informações dadas:
- Função:
. - Domínio alvo:
. - Precisão desejada para a raiz:
.
O que vou entregar: uma geração de valores em, a identificação de um intervalo onde há mudança de sinal (logo uma raiz), explicação do método da bisseção e iterações até atingir a precisão pedida.
Passo 2
Vou gerar valores de
em
a cada
unidades (isso já dá uma boa visão e atende ao pedido de “gerar valores”). Para cada
mostro
e
. Todos os valores numéricos aparecem com pelo menos 4 casas decimais.
- Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . (aprox.: ). - Para
: . . - Para
: . (mesmo que para ). - Para
: . .
Observação rápida sobre os sinais: em
temos
(negativo) e em
temos
(positivo). Logo há mudança de sinal em
e portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. (Também observei uma mudança de sinal entre
e
, então há outras raízes, mas vou escolher o intervalo
porque ele contém uma raiz isolada e é pequeno — isso diminui o trabalho da bisseção.)
Passo 3
Escolhi o intervalo inicial para a bisseção como
porque:
-
. -
.
Portantoe pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
Passo 4
Explicação didática do Método da Bisseção (passo-a-passo):
- Ideia: se
é contínua em e , então existe com . A bisseção reduz repetidamente o comprimento do intervalo pela metade, mantendo sempre um subintervalo onde a função muda de sinal. - Algoritmo:
- Calcule
(ponto médio). - Calcule
. - Se
(exatamente), então é a raiz. Caso contrário, substitua por se , ou por se . - Repita até que o comprimento do intervalo
seja menor ou igual à precisão desejada; então a raiz pode ser aproximada pelo ponto médio final.
- Calcule
- Notas sobre precisão: aqui queremos precisão em
de . Vou parar quando . Em cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2, então basta iterar até esse critério ser satisfeiro.
Passo 5
Aplicando a bisseção em
. Mostro as iterações com pelo menos 4 casas decimais em todos os números intermediários.
Dados iniciais:
-
, . -
, .
Comprimento inicial.
Iteração 1:
-
. -
. (aprox.). - Sinal de
é negativo, igual ao de . Portanto a raiz está em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 2:
-
. -
. (aprox.). -
negativo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 3:
-
. -
. (aprox.). -
positivo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 4:
-
. -
. (aprox.). -
negativo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 5:
-
. -
. (aprox.). -
negativo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 6:
-
. -
. (aprox.). -
positivo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Observação: até aqui os sinais alternaram como esperado porque estamos aproximando o ângulo
para
(onde o cosseno zera).
Iteração 7:
-
. -
. (aprox.). -
negativo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 8:
-
. -
. (aprox.). -
negativo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Iteração 9:
-
. -
. (aprox.). -
negativo → raiz em . - Novo intervalo:
, . Comprimento .
Agora o comprimento do intervalo é
. atingimos a precisão pedida em
.
Passo 6
Escolha da aproximação final e verificação:
- Ponto médio final
. - Essa é uma aproximação com erro em
no máximo . - Se arredondarmos a três casas decimais (precisão
), obtemos .
Comentário final e incentivo: então encontramos uma raiz dentro de
e a bisseção nos deu
com a precisão solicitada. Dá pra ver que o método é sistemático, confiável e perfeito para provas — segue sempre os mesmos passos, diminui o intervalo pela metade e garante erro controlado. Força aí, você consegue aplicar isso nas outras raízes também!